Уравнения касательной и нормали

Предположим, что функция y = f(x) определена на интервале (a, b) и непрерывна в точке x₀ ∈ (a, b). В этой точке (точка M на рисунке 1) функция имеет значение y₀ = f(x₀).

Пусть независимая переменная в точке x₀ получает приращение Δx. Соответствующее приращение функции Δy выражается формулой На рисунке 1 точка M₁ имеет координаты (x₀ + Δx, y₀ + Δy). Построим секущую MM₁. Ее уравнение имеет вид где k − угловой коэффициент, зависящий от приращения Δx и равный При уменьшении Δx точка M₁ стремится к точке M:  M₁ → M. В пределе Δx → 0 расстояние между точками M и M₁ стремится к нулю. Это следует из непрерывности функции f(x) в точке x₀: Предельное положение секущей MM₁ как раз и представляет собой касательную прямую к графику функции y = f(x) в точке M.

Возможны два вида касательных − наклонные и вертикальные.

Определение 1.
Если существует конечный предел , то прямая, имеющая уравнение называется наклонной касательной к графику функции y = f(x) в точке (x₀, y₀).

Определение 2.
Если предельное значение k при Δx → 0 является бесконечным: , то прямая, имеющая уравнение называется вертикальной касательной к графику функции y = f(x) в точке (x₀, y₀).

Важно отметить, что то есть угловой коэффициент касательной равен значению производной функции f(x₀) в точке касания x₀. Поэтому уравнение наклонной касательной можно записать в таком виде: Поскольку угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона α, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то справедливо следующее тройное равенство: Прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания (x₀, y₀), называется нормалью к графику функции y = f(x) в этой точке (рисунок 2).

Из геометрии известно, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно −1. Поэтому, зная уравнение касательной в точке (x₀, y₀): можно сразу записать уравнение нормали в виде Пусть плоская кривая задана параметрически: Тогда угловой коэффициент касательной, проведенной в точке (x₀, y₀), находится по правилу дифференцирования параметрически заданной кривой: Уравнение касательной имеет вид Соответственно, уравнение нормали записывается как Предположим, что кривая задана полярным уравнением  r = f(θ), выражающим зависимость длины радиуса-вектора r от полярного угла θ. В декартовых координатах такая кривая будет описываться системой уравнений Таким образом, мы записали уравнение кривой в параметрической форме, где роль параметра играет угол θ. Далее легко получить выражение для углового коэффициента касательной, проведенной к кривой в точке (x₀, y₀): В результате уравнения касательной и нормали будут записываться в следующем виде: Исследование кривой можно провести непосредственно в полярных координатах без перехода к декартовой системе. В таком случае наклон касательной удобно определять не углом θ с полярной осью (т.е. с положительным направлением оси абсцисс), а углом β с прямой, содержащей радиус-вектор r (рисунок 3).

Тангенс угла β вычисляется по формуле Угол, образованный нормалью с продолженным радиусом-вектором, равен β + π/2. По формуле приведения получаем:

   Пример 1

Написать уравнение нормали к эллипсу в точке (1, √3/2) (рисунок 4). Найдем производную y'(x), дифференцируя функцию неявно: В точке касания производная равна Тогда уравнение нормали записывается в виде

   Пример 2

Под какими углами кривая  y = x³ − x  пересекает ось абсцисс? Кубическая функция  y = x³ − x  пересекает ось абсцисс в следующих точках: Вычислим значения производной в этих точках: Угол, под которым кривая пересекает ось Ox, определяется углом наклона касательной, проведенной к графику функции в точке пересечения. В свою очередь, тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке касания. Следовательно, получаем следующие значения углов в точках пересечения:

   Пример 3

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции  y = x√x − 1  в точке x = 2. Вычислим производную заданной функции: В точке x = 2 производная равна Значение самой функции в этой точке составляет Находим уравнение касательной: и уравнение нормали в этой же точке:

   Пример 4

Дана парабола  y = 2x². Через точки параболы с координатами x = −1 и x = 2 проведена секущая (рисунок 5). Найти касательную к параболе, параллельную данной секущей. Вычислим сначала координаты y хорды KL (рисунок 5): Тогда уравнение секущей KL записывается в виде то есть, k = 2. Угловой коэффициент касательной имеет такое же значение k = 2.

Найдем координаты точки касания из условия  y'(x) = k: Следовательно, координата y точки касания M равна Таким образом, точка касания M имеет координаты (1/2, 1/2). Отсюда получаем уравнение искомой касательной в следующем виде:

   Пример 5

Определить площадь треугольника, образованного касательной к графику функции  y = 3 − x²,  проведенной в точке (1, 2), и осями координат (рисунок 6). Найдем уравнение касательной. Учитывая, что получаем уравнение касательной в следующем виде: Приведем его в форму уравнения в отрезках: Отсюда следует, что длина отрезка OA составляет 4, а длина отрезка OB равна 2. Площадь треугольника OAB, соответственно, равна

   Пример 6

Парабола задана уравнением  y = x² + 2x + 3.  Составить уравнения касательных к параболе, проходящих через точку A(−1, 1). Преобразуем уравнение параболы к виду Видно, что график данной параболы получается из графика функции y = x² в результате параллельного переноса на 1 единицу влево и на 2 единицы вверх (рисунок 7).

Найдем уравнения двух касательных к параболе, проходящих через точку A(−1, 1). Каждая из этих касательных определяется уравнением где k − угловой коэффициент (k₁ − для первой касательной и k₂ − для второй).

Таким образом, задача сводится к определению угловых коэффициентов касательных k₁ и k₂. Учтем, что в точках касания B и C выполняется условие Кроме того, в точках касания B и C угловой коэффициент равен значению производной функции y = x² + 2x + 3.  Поскольку то, следовательно, получаем еще одно уравнение в виде В результате мы имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными k и x. Решая эту систему, находим значения k и x (т.е. угловые коэффициенты касательных k₁, k₂ и абсциссы точек касания B и C): Первое решение x₁ = −2 соответствует точке B. Второе решение x₂ = 0 является координатой точки касания C. Угловые коэффициенты имеют следующие значения: Тогда уравнения касательных к данной параболе записываются в виде

   Пример 7

Доказать, что кривые  x² − y² = 3  и  xy = 2  пересекаются под прямым углом. Данные кривые представляют собой гиперболы и схематически изображены на рисунке 8. Определим их точки пересечения: Очевидно, что точки пересечения кривых находятся из условия x² = 4: Вычислим координаты y данных точек: Найдем теперь производные заданных функций. Производную первой функции вычислим с помощью неявного дифференцирования: Производная второй функции выражается в виде Вычислим значения производных в точке x = −2 (тем самым мы найдем угловые коэффициенты касательных к каждой гиперболе в этой точке) и убедимся, что произведение угловых коэффициентов касательных в данной точке равно −1: Такую же проверку сделаем для второй точки пересечения: Таким образом в каждой из двух точек кривые пересекаются под прямым углом.

   Пример 8

Найти угол между касательной к кардиоиде  r = a(1 + cos θ)  и радиусом-вектором точки касания. Искомый угол (рисунок 9) вычисляется по формуле Здесь Следовательно, В последнем выражении мы воспользовались формулой приведения. Таким образом, угол между касательной и радиусом-вектором равен

   Пример 9

Найти уравнение касательной и нормали к астроиде  x = a cos³t,  y = a sin³t  в точке  t = π/4  (рисунок 10). Вычислим производные параметрически заданной функции: Следовательно, По формуле приведения можно записать: Так как  tan α = y'_x = tan(π − t),  то угол α составляет Тогда производная кардиоиды и, соответственно, угловой коэффициент касательной в точке касания равны Находим координаты точки касания: Теперь можно записать уравнение касательной: и уравнение нормали:

   Пример 10

К графику функции  y = cos x  проведена касательная в точке M(x₀, y₀), где 0 < x₀ < π/2 (рисунок 11). Найти значение x₀, при котором площадь треугольника, образованного касательной и осями координат, будет наименьшей. Поскольку производная косинуса равна то угловой коэффициент касательной составляет Тогда уравнение касательной имеет вид Представим его в форме уравнения в отрезках: Следовательно, то есть, катеты прямоугольного треугольника OAB равны Далее, для удобства, переобозначим x₀ = z. Выразим площадь треугольника OAB в виде функции S(z): Исследуем экстремальные значения функции S(z). Вычислим ее производную: Поскольку в интервале 0 < z < π/2 то производная имеет лишь одну критическую точку, которая определяется условием Такое уравнение решается численно. Однако можно заметить, что если z = π/4, то левая часть уравнения отрицательна: а при z = π/3 левая часть положительна: Следовательно, точка экстремума функции S(z) находится в интервале углов (π/4, π/3) (рисунок 12), причем это точка является точкой минимума (судя по характеру изменения знака производной).

Приближенную координату точки минимума можно вычислить, например, в Excel. Она составляет примерно 0.86 рад или 49,3°.