Производная функции в полярных координатах

Положение точек на плоскости можно описывать в различных системах координат. Помимо прямоугольной декартовой системы координат широко распространена также полярная система координат. В ней положение любой точки M описывается двумя числами (рис.1):

• длиной радиус-вектора r, равной расстоянию от точки M до центра координат O (полюса);


• полярным углом θ, образованным отрезком OM и положительным направлением оси Ox. Угол θ отсчитывается против часовой стрелки.

Равенство r = f(θ), выражающее зависимость длины радиус-вектора r от полярного угла θ, описывает на плоскости некоторую кривую и называется полярным уравнением кривой.

Например, Архимедова спираль (рис.2) описывается полярным уравнением где a − параметр, определяющий плотность витков спирали. Шаг спирали (расстояние между соседними витками) является для спирали Архимеда постоянной величиной, равной 2πa.

Переход от полярных координат (r, θ) к прямоугольным декартовым координатам (x, y) производится по формулам Если некоторая кривая задана полярным уравнением r = f(θ), то в декартовых координатах она будет описываться системой уравнений Видно, что фактически мы получили параметрические уравнения кривой, где роль параметра t играет угол θ. В таком случае производную полярной кривой можно найти по формуле производной параметрически заданной функции Рассмотрим примеры вычисления производных для некоторых полярных кривых.

   Пример 1

Найти производную dy/dx Архимедовой спирали. Уравнение Архимедовой спирали (рис.2) в полярных координатах записывается в виде Производная dy/dx находится по формуле Подставляя функцию f(θ), имеем Разделим числитель и знаменатель на cos θ (предполагая, что θ ≠ π/2 + πn, n ∈ Z). Тогда для производной получается такое выражение: Последнюю формулу можно еще упростить, если воспользоваться тригонометрическим соотношением Для этого представим угол θ как В результате получаем Интересно, что производная спирали Архимеда не зависит от длины радиуса r, а определяется только углом θ. В этом проявляется свойство самоподобия архимедовой спирали. Данная особенность свойственна и многим другим плоским кривым.

   Пример 2

Найти производную dy/dx кардиоиды, заданной уравнением Предварительно вычислим производную полярной функции: Тогда производная dy/dx данной кривой равна Используя формулы двойного угла получаем Далее преобразуем выражение для производной с помощью тригонометрических соотношений В результате имеем: Производная dy/dx определена при условиях В интервале (−π, π) эти ограничения соответствуют значениям θ = −π, −2/3π, 0, 2/3π, π. В указанных точках производная кардиоиды не существует.

Кривая кардиоиды (рис.3) напоминает изображение сердца (отсюда происходит ее название) и обладает рядом замечательных свойств. Красивые математические объекты и структуры одного и того же типа часто возникают в различных областях, которые на первый взгляд совершенно не связаны друг с другом. Такие примеры снова заставляют нас задумываться об удивительном единстве окружающего мира и природы. Так, кардиоида совершенно неожиданно появляется в знаменитом фрактальном множестве Мандельброта, занимая его центральную часть (рис.4).

   Пример 3

Найти производную dy/dx логарифмической спирали, заданной уравнением где a, b − действительные числа. Вычислим производную f '(θ): Подставляя это в формулу для производной dy/dx, получаем: Далее, также как и в примере 1, представим 1/b в виде и применим тригонометрическую формулу тангенса суммы двух углов: В результате получаем: Вид логарифмической спирали схематически представлен на рисунке 5. Такая форма часто встречается в природе. Например, раковины моллюсков могут иметь форму логарифмической спирали. Другой пример относится к спиральным галактикам (рис.6), для которых такая форма является типичной.

   Пример 4

Найти производную dy/dx окружности и вычислить ее значения для полярных углов θ = π/4, 3π/4. Уравнение окружности в полярных координатах имеет очень простой вид: где R − радиус окружности.

Отсюда, учитывая, что f '(θ) = 0, легко находится производная dy/dx окружности: В частности, для углов π/4 и 3π/4 производная равна: Как известно, значение производной в некоторой точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной, проведенной к кривой в этой точке. Для указанных двух углов это схематически показано на рисунке 7.

   Пример 5

Найти производную dy/dx лемнискаты Бернулли, заданной уравнением Будем рассматривать данную кривую в интервале углов, при котором Решая это неравенство, получаем: Выберем ограниченный интервал −π/4 < θ < π/4, соответствующий одному лепестку лемнискаты Бернулли (рис.8). В указанном промежутке уравнение кривой можно записать в виде Производная этой функции равна Тогда производная dy/dx будет описываться следующим выражением: Числитель и знаменатель можно упростить, используя тригонометрические соотношения для косинуса и синуса суммы двух углов: Следовательно, Заметим, что функция cot 3θ не определена в точке, где В наш интервал (−π/4, π/4) попадает лишь одна точка θ = 0. В ней производная терпит бесконечный разрыв. Касательная к кривой в этой точке является вертикальной прямой (рис.8).

   Пример 6

Найти производную dy/dx спирали Галилея. Спираль Галилея описывает траекторию свободно падающего тела в системе координат, учитывающей вращение Земли. Выведем ее уравнение в полярных координатах.

Пусть тело начинает падать из некоторой точки A, расположенной над экватором Земли (рис.9). Движение вдоль радиус-вектора r является равноускоренным и определяется соотношением где H − начальная высота тела над уровнем Земли, R − радиус Земли, g − ускорение свободного падения, t − время. Одновременно с падением тела происходит вращение Земли с постоянной угловой скоростью ω. В таком случае угол поворота θ изменяется со временем по закону где ω − угловая скорость вращения Земли, T − период вращения (T = 24 часа = 86400 сек).

Таким образом, параметрические уравнения кривой имеют вид: Исключая параметр t, получим полярное уравнение данной траектории: Это уравнение удобнее записать в такой форме: Данное уравнение называется полярным уравнением спирали Галилея. В рассмотренной модели один виток спирали соответствует одному обороту Земли. Ясно, что при реальных временах падения траектория тела описывается достаточно коротким участком спирали.

Акцентируя внимание на переменном (квадратичном) члене aθ², рассмотрим далее случай d = 0. Тогда уравнение спирали принимает следующий вид: Как видно на рисунке 10, спираль Галилея похожа на спираль Архимеда, но отличается от нее тем, что с увеличением угла длина радиус-вектора возрастает гораздо быстрее - в соответствии с квадратичным законом. По такому же закону возрастает и шаг спирали Галилея.

Определим производную найденной полярной функции: Подставляя это в формулу для dy/dx, получаем Снова, как и в задаче 1, представим угол θ/2 в виде и применим формулу тангенса суммы двух углов: В результате находим окончательное выражение для производной dy/dx спирали Галилея:

   Пример 7

Найти производную dy/dx спирали Ферма, заданной полярным уравнением В спирали Ферма радиус r с увеличением угла θ возрастает по корневому закону, т.е. достаточно медленно. Плотность витков увеличивается с ростом r, как видно на рисунке 11. Такой тип спиралей также встречается в природе. Например, семена в подсолнечнике размещаются вдоль кривых, напоминающих спираль Ферма (рис.12). Возвращаясь к теме задачи, вычислим производную dy/dx заданной кривой.

Находим сначала производную f '(θ) в полярных координатах: Следовательно, производная в прямоугольных декартовых координатах выражается следующей формулой: Представим здесь угол 2θ как и применим формулу тангенса суммы двух углов: Тогда производная dy/dx принимает следующий простой вид: