Производная функции, заданной параметрически

Зависимость между аргументом x и функцией y может быть задана в параметрическом виде с помощью двух уравнений где переменная t называется параметром. Так, например, две функции описывают в параметрическом виде уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R. Параметр t при этом изменяется от 0 до 2π.

Найдем выражение для производной параметрически заданной функции. Предположим, что функции  x = x(t)  и  y = y(t)  дифференцируемы в интервале  α < t < β,  причем  x' (t) ≠ 0.  Кроме того, будем считать, что функция  x = x(t)  имеет обратную функцию  t = φ(x). 

По теореме о производной обратной функции можно записать Исходную функцию y(x) можно рассматривать как сложную функцию: Тогда ее производная равна Данная формула позволяет находить производную параметрически заданной функции, не выражая зависимость y(x) в явном виде.

В приведенных ниже примерах найти производную параметрически заданной функции.

   Пример 1

Находим производные x и y по параметру t: Следовательно,

   Пример 2

Следовательно,

   Пример 3

Следовательно, производная dy/dx равна

   Пример 4

В этом примере производные по t равны Следовательно,

   Пример 5

Дифференцируем по параметру t: Тогда

   Пример 6

Вычислим производные: Тогда производная dy/dx равна

   Пример 7

Данные уравнения описывают эллипс с центром в начале координат и полуосями a и b. Продифференцируем переменные x и y по параметру t: Производная dy/dx зависит от t следующим образом: Здесь параметр t изменяется в пределах от − π до π. Однако производная dy/dx обращается в бесконечность в точках t = 0, ±π. Поэтому область допустимых значений можно представить как 0 < |t| < π.

   Пример 8

Дифференцируем оба уравнения по параметру t: Следовательно, производная dy/dx выражается формулой

   Пример 9

Производная dy/dx выражается формулой где параметр t может принимать значения, удовлетворяющие условиям  |t| < 1,  t ≠ 0.

   Пример 10

Вычислим производные x_t', y_t': Производная dy/dx равна где  t ≠ πn/2,  n ∈ Z . Ограничения на возможные значения t вытекают из условия x_t' ≠ 0.

   Пример 11

Вычислим производные x и y по параметру t: Тогда производная dy/dx равна: Здесь параметр t может принимать любые значения, исключая точки  t = ±1,  в которых переменные x и y терпят разрыв.

   Пример 12

Дифференцируя по t, находим: Следовательно,

   Пример 13

Находим производные x и y по параметру t: В результате получаем: Заметим, что производная существует при условии

   Пример 14

Производные x и y по параметру t имеют такой вид: Запишем производную dy/dx: Используя в числителе и знаменателе формулы двойного угла, получаем: где  t ≠ 2πn,  n ∈ Z .

   Пример 15

Дифференцируем функции x(t) и y(t) по параметру t: Тогда производная dy/dx выражается формулой

   Пример 16

В результате имеем В данном случае  t ≠ πn/2,  n ∈ Z.

   Пример 17

Находим производные x_t', y_t': Теперь можно легко записать выражение для производной dy/dx: Допустимые значения параметра t определяются следующей системой неравенств:

   Пример 18

Производные x и y по параметру t имеют такой вид: Тогда производная dy/dx равна В данном примере допустимые значения параметра t ограничены условиями

   Пример 19

Вычислим сначала производные x и y по переменной t: Отсюда находим Заметим, что здесь параметр t может принимать значения, определяемые неравенством т.е. допустимы лишь отрицательные значения t.

   Пример 20

Найти значение производной dy/dx параметрически заданной функции  x = t + 2sin πt,  y = 3t − cos πt  в точке  t = 1/2. Найдем сначала выражения для производных x(t) и y(t): Тогда производная dy/dx описывается формулой Подставляя  t = 1/2,  вычисляем значение производной в указанной точке: