Непрерывность функций

Говорят, что функция действительного переменного f (x) является непрерывной в точке
( - множество действительных чисел), если для любой последовательности , такой, что выполняется соотношение На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a : Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел на другое подмножество B действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению выполняется неравенство Определение непрерывности можно также сформулировать, используя приращения аргумента и функции. Функция является непрерывной в точке x = a, если справедливо равенство где .

Приведенные определения непрерывности функции эквивалентны на множестве действительных чисел.

Функция является непрерывной на данном интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Теорема 1.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке x = a, и C является константой. Тогда функция Сf (x) также непрерывна при x = a.

Теорема 2.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a.

Теорема 3.
Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функций f (x) g (x) также непрерывно в точке x = a.

Теорема 4.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций также непрерывно при x = a при условии, что .

Теорема 5.
Предположим, что функция f (x) является дифференцируемой в точке x = a. Тогда функция f (x) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, что для всех x в интервале [a, b] (смотрите рисунок 1).

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b]. Тогда, если c − некоторое число, большее f (a) и меньшее f (b), то существует число x₀, такое, что Данная теорема проиллюстрирована на рисунке 2.

Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке свой области определения.

Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций
(с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя:

1. Алгебраические многочлены ;
   
2. Рациональные дроби ;
   
3. Степенные функции ;
   
4. Показательные функции ;
   
5. Логарифмические функции ;
   
6. Тригонометрические функции ;
   
7. Обратные тригонометрические функции ;
   
8. Гиперболические функции ;
   
9. Обратные гиперболические функции .

   Пример 1

Используя определение непрерывности в терминах приращений, доказать, что функция непрерывна в произвольной точке x = a. Условие непрерывности по Гейне можно записать в виде где Δx и Δy − малые приращения, показанные на рисунке 3. Для заданной функции справедливы следующие соотношения в точке x = a: Следовательно, Вычислим предел. Таким образом, функция является непрерывной в произвольной точке x = a.

   Пример 2

Используя определение непрерывности в терминах приращений, показать, что функция непрерывна в любой точке своей области определения. Функция секанс определена для всех действительных x, за исключением точек где косинус равен нулю. Обозначим дифференциал независимой переменной x через Δx. Вычислим соответствующий дифференциал функции Δy. Перейдем к пределу при . Полученный результат справедлив для всех x за исключением нулей косинуса: Следовательно, область непрерывности и область определения функции совпадают.

   Пример 3

Используя определение непрерывности по Коши, доказать, что . Пусть . Мы должны найти некоторое число , такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству будет выполнено соотношение Последнее неравенство можно записать в виде Следовательно, Заметим, что наша функция принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому в заданной точке для ε-окрестности должно выполняться условие ε ≤ 2. В этом случае левая часть ε² − 4ε неравенства будет отрицательной. Отсюда следует соотношение Таким образом, если мы выберем  δ ≤ 4ε − ε², то для всех x, удовлетворяющих неравенству , получим . Например, если  ε = 0.1, то величина δ должна удовлетворять условию  δ ≤ 4ε − ε² = 0.4 − 0.01 = 0.39. По определению Коши это означает, что

   Пример 4

Показать, что кубическое уравнение имеет решение в интервале (2,3). Пусть . Вычислим значения функции при x = 2 и x = 3. Мы получили, что f (2) < 0 и f (3) > 0, или По теореме о промежуточном значении это означает, что в интервале (2,3) существует такое число c, что . Таким образом, данное уравнение имеет решение в интервале (2,3).

   Пример 5

Показать, что уравнение имеет, по крайней мере, один корень. Поскольку функция является полиномом, то она непрерывна. Заметим, что Поэтому . По теореме о промежуточном значении можно сделать вывод, что в интервале (0,1) существует число c, такое, что . Таким образом, уравнение имеет корень в интервале (0,1).

   Пример 6

Задана функция Определить коэффициенты a и b, при которых функция f (x) является всюду непрерывной. Найдем левосторонний предел функции в точке x = 0. Следовательно, значение ax + b в точке x = 0 должно быть равно 2. Аналогично, находим правосторонний предел при x = 1. Как видно, значение ax + 2 в точке x = 1 должно быть равно 4. При данных значениях a и b функция f (x) будет непрерывной. График функции схематически показан выше ни рисунке 4.

   Пример 7

Если функция непрерывна, то чему равно a? Вычислим левосторонние и правосторонние пределы функции при x = −1. Функция будет непрерывной в точке x = −1, если Следовательно,