Уравнение Эйлера n-го порядка записывается в виде
где
a1,...,
an − постоянные числа.
Ранее мы уже рассматривали
уравнения Эйлера второго порядка. С помощью определенных подстановок такое уравнение сводится к
линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Такие преобразования используются и в случае уравнения
n-го порядка. Рассмотрим подробнее два метода решения уравнений данного вида.
1. Решение уравнения Эйлера n-го порядка с помощью подстановки x = exp(t)
Используя подстановку
x = exp(t), уравнение Эйлера
n-го порядка можно привести к
уравнению с постоянными коэффициентами. Выразим производную функции
y через новую переменную
t. Это удобно сделать, используя
дифференциальный оператор D. В формулах, приведенных ниже, оператор
D обозначает первую производную по переменной
t:
. Таким образом, мы получаем:
Производная по
t произвольного
n-го порядка будет описываться выражением
Видно, что после подстановки производных в исходное уравнение Эйлера все экспоненциальные множители будут сокращаться, поскольку
В результате левая часть будет состоять из производных функции
y по переменной
t с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения находится стандартными методами. В конце решения необходимо перейти обратно от переменной
t к переменной
x, подставляя
t = ln(x).
2. Решение уравнения Эйлера n-го порядка в виде степенной функции y = x k
Рассмотрим другой способ решения уравнения Эйлера. Предположим, что решение имеет вид степенной функции
y = xk, где показатель
k определяется в ходе решения. Производные функции
y легко выражаются в следующем виде:
Подставляя это в исходное однородное уравнение Эйлера и сокращая его на
y = xk ≠ 0, сразу получаем характеристическое уравнение:
которое в более компактном виде можно записать как
Решая характеристическое уравнение, находим его корни и далее строим общее решение дифференциального уравнения. В окончательном выражении необходимо вернуться к исходной переменной
x, используя подстановку
t = ln(x).
3. Неоднородное уравнение Эйлера высшего порядка
В общем случае
неоднородное уравнение Эйлера представляется в виде
С помощью подстановки
x = exp(t) неоднородное уравнение Эйлера можно преобразовать в
неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. При этом если правая часть исходного уравнения имеет вид
где
Pm − многочлен степени
m, то частное решение полученного неоднородного уравнения можно найти
методом неопределенных коэффициентов.