www.Math24.ru
Дифференциальные Уравнения
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Уравнение Эйлера высшего порядка
Уравнение Эйлера n-го порядка записывается в виде
уравнение Эйлера высшего порядка
где a1,..., an − постоянные числа.

Ранее мы уже рассматривали уравнения Эйлера второго порядка. С помощью определенных подстановок такое уравнение сводится к линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Такие преобразования используются и в случае уравнения n-го порядка. Рассмотрим подробнее два метода решения уравнений данного вида.
1. Решение уравнения Эйлера n-го порядка с помощью подстановки x = exp(t)
Используя подстановку x = exp(t), уравнение Эйлера n-го порядка можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами. Выразим производную функции y через новую переменную t. Это удобно сделать, используя дифференциальный оператор D. В формулах, приведенных ниже, оператор D обозначает первую производную по переменной t: . Таким образом, мы получаем:
Производная по t произвольного n-го порядка будет описываться выражением
Видно, что после подстановки производных в исходное уравнение Эйлера все экспоненциальные множители будут сокращаться, поскольку
В результате левая часть будет состоять из производных функции y по переменной t с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения находится стандартными методами. В конце решения необходимо перейти обратно от переменной t к переменной x, подставляя t = ln(x).
2. Решение уравнения Эйлера n-го порядка в виде степенной функции y = x k
Рассмотрим другой способ решения уравнения Эйлера. Предположим, что решение имеет вид степенной функции y = xk, где показатель k определяется в ходе решения. Производные функции y легко выражаются в следующем виде:
Подставляя это в исходное однородное уравнение Эйлера и сокращая его на  y = xk ≠ 0, сразу получаем характеристическое уравнение:
которое в более компактном виде можно записать как
Решая характеристическое уравнение, находим его корни и далее строим общее решение дифференциального уравнения. В окончательном выражении необходимо вернуться к исходной переменной x, используя подстановку t = ln(x).
3. Неоднородное уравнение Эйлера высшего порядка
В общем случае неоднородное уравнение Эйлера представляется в виде
неоднородное уравнение Эйлера высшего порядка
С помощью подстановки x = exp(t) неоднородное уравнение Эйлера можно преобразовать в неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. При этом если правая часть исходного уравнения имеет вид
где Pm − многочлен степени m, то частное решение полученного неоднородного уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов.

   Пример 1
Найти общее решение уравнения  x3y''' − 2x2y'' + 4xy' − 4y = 0  при  x > 0.

Решение.
Используя подстановку x = exp(t), перейдем к новой переменной t. Производные будут равны:
     
Здесь D обозначает операцию однократного дифференцирования функции y по переменной t.

Подставляя выражения для производных и учитывая, что x = exp(t), получаем следующее уравнение:
     
или в стандартной форме:
     
Найдем корни соответствующего характеристического уравнения, которое записывается в виде
     
Заметим, что k = 2 является одним из корней данного уравнения. Раскладывая левую часть на множители, имеем:
     
Корни квадратного трехчлена, в свою очередь, равны: k = 1, k = 2. Таким образом, характеристическое уравнение имеет корни k1 = 1, k2,3 = 2. Второе значение имеет кратность 2. Тогда общее решение уравнения записывается как
     
где C1, C2, C3 − произвольные постоянные.

Перейдем обратно от переменной t к x, учитывая, что t = ln (x). Получаем окончательный ответ в виде:
     
   Пример 2
Найти общее решение уравнения  x4y IV + 6x3y''' + 9x2y'' + 3xy' + y = 0  при  x > 0.

Решение.
Данное дифференциальное уравнение является однородным уравнением Эйлера четвертого порядка. Построим общее решение с помощью пробной степенной функции y = xk. Подставим в уравнение производные этой функции:
     
Получаем характеристическое уравнение четвертой степени:
     
Упростим полученное уравнение, выполнив стандартные преобразования:
     
Как видно, характеристическое уравнение имеет два мнимых корня k1,2 = ± i кратности 2. Тогда общее решение записывается как
     
где C1,...,C4 − произвольные постоянные.

Сделаем обратную подстановку t = ln (x). Получаем следующий ответ:
     
   Пример 3
Решить дифференциальное уравнение  x3y''' − 2x2y'' + 6xy' = x(2ln x +1)  при  x > 0.

Решение.
Здесь мы имеем неоднородное уравнение Эйлера третьего порядка. Сделаем замену x = exp(t). Следовательно,
     
где оператор D обозначает дифференцирование по переменной t. После подстановки в исходное уравнение получаем неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами:
     
Найдем общее решение однородного уравнения
     
Составляем характеристическое уравнение:
     
Его корни равны:
     
Тогда общее решение однородного уравнения записывается в виде:
     
где C1, C2, C3 − произвольные постоянные.

Теперь определим частное решение неоднородного уравнения. Заметим, что экспоненциальная функция exp(t) в правой части не совпадает ни с одним из фундаментальных решений однородного уравнения. Поэтому частное решение будем искать в виде
     
Найдем производные функции y1:
     
Подставляя производные в неоднородное уравнение, вычислим коэффициенты A, B:
     
Итак, частное решение выражается формулой
     
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения записывается как
     
Перейдем обратно к переменной x и получим окончательный вид общего решения:
     

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014  
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.