Уравнение Эйлера второго порядка

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида называется дифференциальным уравнением Эйлера. Его можно свести к линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Такое преобразование можно выполнить двумя способами. Сделаем следующую подстановку: x = exp(t). Тогда производные будут равны: Подставляя это в исходное уравнение Эйлера, имеем: Как видно, мы получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Соответствующее характеристическое уравнение записывается в виде: Теперь можно определить корни характеристического уравнения и записать общее решение для функции y(t). После этого легко снова вернуться к функции y(x), учитывая, что В рамках второго способа мы ищем решение уравнения в форме степенной функции  y = x^k, где k − некоторое (пока еще неизвестное) число. Отсюда следует, что Подстановка полученных выражений в дифференциальное уравнение приводит к следующему результату: Поскольку  x^k ≠ 0, то Мы получили такое же характеристическое уравнение, как и при решении первым способом. После вычисления корней, можно записать общее решение дифференциального уравнения. Неоднородное уравнение Эйлера записывается в виде: Если правая часть имеет форму то мы можем легко сконструировать общее решение по аналогии с решением линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Алгоритм решения выглядит следующим образом:

1. Сначала находим общее решение однородного уравнения Эйлера;
   
2. Используя метод неопределенных коэффициентов или метод вариации постоянных, находим частное решение, зависящее от правой части заданного неоднородного уравнения;
   
3. Общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму общего решения однородного уравнения (шаг 1) и частного решения неоднородного уравнения (шаг 2).
   

   Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения  4x²y'' + y = 0, предполагая, что x > 0. Сделаем подстановку  x = exp(t). Поскольку то дифференциальное уравнение принимает вид: Вычислим корни соответствующего характеристического уравнения: Уравнение имеет один корень второго порядка. Тогда общее решение для функции y(t) будет определяться выражением Решение для исходной функции y(x) можно записать в виде: где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа.

   Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения  x²y'' − xy' − 8y = 0, предполагая, что x > 0. Для решения данного уравнения воспользуемся вторым способом, т.е. будем искать решение в форме  y = x^k. Тогда Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни: Следовательно, общее решение для промежуточной функции y(t) выражается формулой Возвращаясь к переменной x, получаем окончательный ответ: Здесь C₁, C₂ − произвольные действительные постоянные.

   Решение 3

Найти общее решение уравнения Эйлера  x²y'' + xy' + y = 5x² при  x > 0. Сначала построим общее решение однородного уравнения: Сделаем подстановку: В результате однородное уравнение примет вид: Решим характеристическое уравнение: Как видно, корни характеристического уравнения мнимые. Поэтому общее решение однородного уравнения записывается в виде где C₁ и C₂ − действительные постоянные.

Теперь определим частное решение неоднородного уравнения Принимая во внимание структуру правой части, будеи искать частное решение в виде  y₁(t) = aexp(2t), где a − некоторый постоянный коэффициент. Тогда Подставим данную функцию вместе с ее производными в уравнение и найдем коэффициент a: Итак, частное решение неоднородного уравнения определяется выражением Теперь можно записать общее решение исходного неоднородного уравнения: Возвращаясь обратно к переменной x, получаем Поскольку  exp(2ln x) = exp(ln(x²)) = x², окончательный ответ записывается в виде

   Пример 4

Решить неоднородное уравнение Эйлера  x²y'' − 2xy' + 2y = 6x² + 4ln x при условии  x > 0. Сначала найдем решение однородного уравнения: Используя подстановку  x = exp(t), можно преобразовать последнее уравнение в уравнение с постоянными коэффициентами: Вычислим корни характеристического уравнения и запишем общее решение y_h(t) однородного дифференциального уравнения: Следовательно, Теперь рассмотрим неоднородное уравнение, которое можно записать через переменную t в виде В показателе экспоненциальной функции в правой части содержится коэффициент 2, который совпадает с одним из корней характеристического уравнения. Поэтому будем искать частное решение в форме где a, b и c − некоторые (пока еще) неизвестные числа.

Первая и вторая производные данной функции будут равны Подставим это в неоднородное уравнение: Последнее равенство является тождественным, то есть оно справедливо для любых значений t. Приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями в левой и правой части, получаем: Таким образом, частное решение неоднородного уравнения описывается выражением Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения Эйлера: Поскольку t = ln x, то окончательный ответ записывается как где C₁, C₂ − произвольные действительные числа.