Неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

Данные уравнения имеют вид где a₁, a₂,..., a_n − действительные или комплексные числа, а правая часть f(x) является непрерывной функцией на некотором отрезке [a, b].

Используя линейный дифференциальный оператор L(D), равный неоднородное дифференциальное уравнение можно записать в виде Общее решение y(x) неоднородного уравнения представляется в виде суммы общего решения y₀(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения: При произвольной правой части f(x) для поиска общего решения неоднородного уравнения используется метод вариации постоянных. В случае, если правая часть представляет собой произведение многочлена и экспоненциальной функции, частное решение удобнее искать методом неопределенных коэффициентов. Предположим, что общее решение однородного дифференциального уравнения n-го порядка известно и представляется формулой Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) заключается в том, что вместо постоянных чисел C₁, C₂,..., C_n мы рассматриваем функции C₁(x), C₂(x),..., C_n(x). Эти функции подбираются таким образом, чтобы решение удовлетворяло исходному неоднородному уравнению.

Производные n неизвестных функций C₁(x), C₂(x),..., C_n(x) определяются из системы n уравнений: Определителем этой системы является вронскиан функций Y₁, Y₂,..., Y_n, образующих фундаментальную систему решений. В силу линейной независимости этих функций определитель не равен нулю и данная система однозначно разрешима. Окончательные выражения для функций C₁(x), C₂(x),..., C_n(x) находятся в результате интегрирования. Если правая часть f(x) дифференциального уравнения представляет собой функцию вида где P_n(x), Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно, то для построения частного решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов.

В этом случае мы ищем частное решение в форме, соответствующей структуре правой части уравнения. Так, например, для функции частное решение имеет вид где A_n(x) − многочлен той же степени n, как и P_n(x). Коэффициенты многочлена A_n(x) определяются прямой подстановкой пробного решения y₁(x) в неоднородное дифференциальное уравнение.

В так называемом резонансном случае, когда число α в показательной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, в частном решении появляется дополнительный множитель x^s, где s равно кратности корня. В нерезонансном случае полагают s = 0.

Такой же алгоритм применяется, когда правая часть уравнения задана в виде Здесь частное решение имеет аналогичную структуру и записывается как где A_n(x), B_n(x) − многочлены степени n (при n ≥ m), а степень s в дополнительном множителе x^s равна кратности комплексного корня α ± βi в резонансном случае (т.е. при совпадении чисел α и β с комплексным корнем характеристического уравнения), и, соответственно, s = 0 в нерезонансном случае. Для линейных неоднородных уравнений справедлив принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом. Пусть правая часть f(x) представляет собой сумму двух функций: Предположим, что y₁(x) является решением уравнения а функция y₂(x) является, соответственно, решением второго уравнения Тогда сумма функций будет являться решением линейного неоднородного уравнения

   Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения  y''' + 3y'' − 10y' = x − 3. Сначала найдем общее решение однородного уравнения Вычислим корни характеристического уравнения: Следовательно, Общее решение однородного уравнения имеет вид: где C₁, C₂, C₃ − произвольные числа.

В правой части уравнения содержится лишь многочлен. Однако, если учесть, что exp(0) = 1, то видно, что на самом деле мы имеем резонансный случай (в замаскированном виде), поскольку один из корней характеристического уравнения также равен нулю: λ₁ = 0. Поэтому частное решение будем искать в виде Подставляем производные в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты A, B: Частное решение y₁ записывается как Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения выражается формулой

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение  y''' − y' = sin (3x). Построим общее решение однородного уравнения Корни характеристического уравнения равны: Следовательно, общее решение однородного уравнения записывается в виде где C₁, C₂, C₃ − произвольные числа.

Исходя из вида правой части, будем искать частное решение в виде пробной функции Производные этой функции имеют следующий вид: Подставляя найденные производные в уравнение, получаем Итак, частное решение записывается как Соответственно, общее решение неоднородного уравнения описывается выражением

   Пример 3

Решить дифференциальное уравнение  y^IV − y = 2cos(x). Сначала рассмотрим однородное уравнение и построим его общее решение. Характеристическое уравнение имеет следующие корни: Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: где C₁,..., C₄ − произвольные числа.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Здесь мы имеем резонансный случай, поскольку выражение в правой части соответствует по структуре комплексному корню α ± iβ = ±i. Поэтому будем искать частное решение в виде Производные этой функции равны: Подставляем найденные производные в неоднородное уравнение и определяем коэффициенты A, B: Итак, частное решение выражается в виде Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения записывается как

   Пример 4

Решить уравнение  y^IV + y''' − 3y'' − 5y' − 2y = exp(2x) − exp(−x). Сначала найдем общее решение однородного уравнения Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: Видно, что уравнение имеет два корня: причем кратность первого корня равна 3.

Тогда общее решение однородного уравнения записывается в виде где C₁,..., C₄ − как обычно, произвольные числа.

Перейдем теперь к построению частного решения неоднородного уравнения. Используя принцип суперпозиции, удобно рассмотреть два неоднородных уравнения вида Сумма правых частей этих уравнений соответствует правой части исходного неоднородного уравнения.

Заметим, что в обоих уравнениях возникают резонансные случаи. В первом уравнении число 2 в показателе экспоненциальной функции совпадает с корнем λ₂ = 2 кратности 1. Во втором уравнении число (-1) в показателе экспоненциальной функции совпадает с другим корнем λ₁ = −1, кратность которого равна 3. С учетом этого будем искать частные решения y₁, y₂ − соответственно, для уравнений 1 и 2 − в виде Для пробного решения y₁ производные имеют вид: Подставляя это в первое уравнение, находим коэффициент A: Следовательно, частное решение y₁ выражается формулой Аналогично найдем частное решение y₂. Производные пробной функции y₂ равны: Подставляя найденные производные во второе уравнение, вычисляем коэффициент B: Получаем частное решение y₂ в следующем виде: В соответствии с принципом суперпозиции, частное решение исходного неоднородного уравнения представляется как Окончательно общее решение уравнения имеет вид:

   Пример 5

Найти общее решение уравнения, используя метод вариации постоянных: . Решим сначала соответствующее однородное уравнение Корни его характеристического уравнения равны: Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: где C₁, C₂, C₃ − произвольные числа.

Чтобы построить общее решение неоднородного уранвения, в соответствии с методом вариации постоянных, вместо чисел C₁, C₂, C₃ будем рассматривать функции C₁(x), C₂(x), C₃(x). Эти функции будут удовлетворять неоднородному уравнению при условии Здесь функции Y₁, Y₂, Y₃ представляют собой фундаментальную систему решений. Они были найдены при решении однородного уравнения: Тогда система уравнений принимает вид: Главный определитель (вронскиан) равен Найдем выражения для производных C₁', C₂', C₃', вычислив три других определителя: Следовательно, производные C₁', C₂', C₃' выражаются формулами: Интегралы от полученных функций являются табличными, так что мы сразу можем записать: где A₁, A₂, A₃ − постоянные интегрирования.

Подставляя это в общее решение, получаем ответ в следующем виде: