Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида где p, q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией
   
   где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа.
   
   
2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
   
3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде
   
   
   Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  y'' − 6y' + 5y = 0. Запишем сначала соответствующее характеристическое уравнение: Корни данного уравнения равны k₁ = 1, k₂ = 5. Поскольку корни действительны и различны, общее решение будет иметь вид: где C₁ и C₂ − произвольные постоянные.

   Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения  y'' − 6y' + 9y = 0. Вычислим корни характеристического уравнения: Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень второго порядка: k₁ = 3. Поэтому общее решение дифференциального уравнения определяется формулой где C₁, C₂ − произвольные действительные числа.

   Пример 3

Решить дифференциальное уравнение  y'' − 4y' + 5y = 0. Сначала запишем соответствующее характеристическое уравнение и определим его корни: Таким образом, характеристическое уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней: k₁ = 2 + i, k₂ = 2 − i. В этом случае общее решение выражается формулой где C₁, C₂ − произвольные постоянные.

   Пример 4

Решить уравнение  y'' + 25y = 0. Характеристическое уравнение имеет вид: Корни этого уравнения являются чисто мнимыми: Тогда ответ записывается в следующем виде: где C₁, C₂ − постоянные интегрирования.

   Пример 5

Решить уравнение  y'' + 4iy = 0. В данном уравнении коэффициент перед y является комплексным числом. Общее решение линейного дифференциального уравнения с постоянными комплексными коэффициентами конструируется так же, как и в случае действительных коэффициентов. Сначала запишем характеристическое уравнение: Определим корни уравнения: Вычислим отдельно квадратный корень из мнимой единицы. Для этого число i удобно представить в тригонометрической форме: Корни характеристического уравнения будут равны: Общее решение исходного дифференциального уравнения будет выражаться линейной комбинацией следующих экспоненциальных функций: где C₁, C₂ − произвольные постоянные.