Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами записывается в виде где a₁, a₂,..., a_n − постоянные числа, которые могут быть действительными или комплексными.

Используя линейный дифференциальный оператор L(D), данное уравнение можно представить в виде где Для каждого дифференциального оператора с постоянными коэффициентами можно ввести характеристический многочлен Алгебраическое уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

Согласно основной теореме алгебры, многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом их кратности. При этом корни уравнения могут быть как действительными, так и комплексными (даже если все коэффициенты a₁, a₂,..., a_n действительные).

Рассмотрим более детально различные случаи корней характеристического уравнения и соответствующие формулы общего решения дифференциального уравнения. Предположим, что характеристическое уравнение L(λ) = 0 имеет n корней λ₁, λ₂,..., λ_n. В этом случае общее решение дифференциального уравнения записывается в простом виде: где C₁, C₂,..., C_n − постоянные, зависящие от начальных условий. Пусть характеристическое уравнение L(λ) = 0 степени n имеет m корней λ₁, λ₂,..., λ_m, кратность которых, соответственно, равна k₁, k₂,..., k_m. Ясно, что выполняется условие Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид Видно, что в формуле общего решения каждому корню λ_i кратности k_i соответствует ровно k_i членов, которые образуются умножением x в определенной степени на экспоненциальную функцию exp(λ_i x). Степень x изменяется в интервале от 0 до k_i − 1, где k_i − кратность корня λ_i. Если коэффициенты дифференциального уравнения являются действительными числами, то комплексные корни характеристического уравнения будут представляться в виде пар комплексно-сопряженных чисел: В этом случае общее решение записывается как Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней α ± iβ кратности k соответствует 2k частных решений Тогда часть общего решения дифференциального уравнения, соответствующая данной паре комплексно-сопряженных корней, конструируется следующим образом: В общем случае, когда характеристическое уравнение имеет как действительные, так и комплексные корни произвольной кратности, общее решение строится в виде суммы рассмотренных выше решений вида 1-4.

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  y''' + 2y'' − y' − 2y = 0. Составим соответствующее характеристическое уравнение: Решая его, находим корни: Видно, что все три корня действительные. Поэтому, общее решение дифференциального уравнения записывается в виде где C₁, C₂, C₃ − произвольные постоянные.

   Пример 2

Решить уравнение  y''' − 7y'' + 11y' − 5y = 0. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: Легко видеть, что одним из корней является число λ = 1. Тогда, выделяя множитель (λ − 1), получаем Итак, уравнение имеет два корня λ₁ = 1, λ₂ = 5, первый из которых имеет кратность 2. Тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в следующем виде: где C₁, C₂, C₃ − произвольные числа.

   Пример 3

Решить уравнение  y ^IV − y''' + 2y' = 0. Составляем характеристическое уравнение: Раскладываем левую часть на множители и находим корни: Заметим, что одним из корней кубического многочлена является число λ = −1. Поэтому разделим λ³ − λ² + 2 на λ + 1: В результате характеристическое уравнение принимает следующий вид: Найдем корни квадратного уравнения: Итак, характеристическое уравнение имеет четыре различных корня, два из которых комплексные: Общее решение дифференциального уравнения представляется в виде где C₁,...,C₄ − произвольные постоянные.

   Пример 4

Решить уравнение  y ^V + 18y''' + 81y' = 0. Характеристическое уравнение записывается в виде Раскладываем левую часть на множители и вычисляем корни: Как видно, уравнение имеет следующие корни: причем мнимые корни имеют кратность 2. В соответствии с изложенными выше правилами записываем общее решение в виде где C₁,...,C₅ − произвольные числа.

   Пример 5

Решить уравнение y ^IV − 4y''' + 5y'' − 4y + 4 = 0. Вычислим корни характеристического уравнения Разложим левую часть на множители: Видно, что корни уравнения равны Первый корень здесь имеет кратность 2. Общее решение дифференциального уравнения выражается формулой где C₁,...,C₄ − как обычно, произвольные постоянные.