Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы представляют собой обобщение операции дифференцирования. Простейший дифференциальный оператор D, действуя на функцию y, "возвращает" первую производную этой функции: Двукратное применение операции D позволяет получить вторую производную функции y(x): Аналогично, n-ая степень оператора D приводит к n-ой производной: Здесь мы предполагаем, что функция y(x) является n раз дифференцируемой и определенной на множестве действительных чисел. Сама функция y(x) может принимать комплексные значения.

Дифференциальные операторы могут иметь и более сложный вид − в зависимости от образующих их дифференциальных выражений.

Так например, в векторном анализе часто встречается дифференциальный оператор набла, определяемый как где − единичные векторы вдоль координатных осей 0x, 0y, 0z.

В результате действия оператора ∇ на скалярное поле F, мы получаем градиент поля F: Вектор градиента указывает направление наибольшего возрастания функции F, а его длина показывает скорость возрастания функции в данном направлении.

Скалярное произведение вектора ∇ и векторного поля известно как дивергенция вектора : В результате векторного произведения векторов ∇ и мы получаем ротор вектора : Скалярное произведение ∇·∇ = ∇² соответствует скалярному дифференциальному оператору, называемому оператором Лапласа или лапласианом. Он обозначается также символом Δ: Упомянем еще один дифференциальный оператор второго порядка − оператор Д'Аламбера. Этот оператор обозначается в виде квадрата и используется в теории относительности, электромагнетизме и других областях физики. В четырехмерном пространстве-времени (t, x, y, z) он представляется дифференциальным выражением где Δ − оператор Лапласа.

Введение дифференциальных операторов позволяет исследовать дифференциальные уравнения в терминах теории операторов и функционального анализа. Такой обобщенный подход оказывается мощным и эффективным. В частности, в приложении к линейным дифференциальным уравнением n-го порядка мы получаем компактный способ записи уравнений, а в некоторых случаях − возможность их быстрого решения. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка: Используя оператор дифференцирования D, это уравнение можно записать в виде где L(D) − дифференциальный многочлен, равный Другими словами, оператор с представляет собой алгебраический многочлен, в котором роль переменной играет дифференциальный оператор D.

Рассмотрим некоторые свойства введенного оператора L(D).

      1) Оператор L(D) является линейным: В случае нескольких операторов L(D), M(D) и N(D) (степень этих дифференциальных многочленов может быть различной) справедливы также следующие свойства:

      2) Коммутативный закон сложения:       3) Ассоциативный закон сложения: Для операторов L(D) и M(D) можно ввести также и операцию умножения: Важно отметить, что операция умножения обладает коммутативностью лишь для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, т.е. для операторов вида где a₁,..., a_n − постоянные числа.

Для таких операторов выполняются свойства 4-6:

      4) Коммутативный закон умножения:       5) Ассоциативный закон умножения:       6) Дистрибутивный закон умножения относительно сложения: Отметим также еще одно полезное свойство оператора D:

      7) D^mDⁿ = D^m+n.

Как видно, дифференциальные операторы L(D) с постоянными коэффициентами обладают такими же свойствами, что и обычные алгебраические многочлены. Следовательно, также как и алгебраические многочлены, дифференциальные операторы L(D) с постоянными коэффициентами можно умножать, разлагать на множители или делить. Указанные свойства лежат в основе операторного метода решений дифференциальных уравнений.

   Пример 1

Проверить, выполняется ли коммутативный закон умножения для операторов L = D² + 1, M = 2D + 3.
Вычислим LMy: Получаем следующее дифференциальное выражение: Теперь вычислим MLy: Следовательно, Видно, что в данном случае коммутативный закон умножения выполняется (это справедливо для любых операторов L(D) с постоянными коэффициентами).

   Пример 2

Проверить, выполняется ли коммутативный закон умножения для операторов L = (xD − 1), M = (D² + x²).
Вычислим сначала дифференциальное выражение LMy: Аналогично вычислим MLy и сравним результаты. Таким образом, при различном порядке действия операторов L и M получаются различные дифференциальные выражения. Это свойство характерно для дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

   Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения y''' + 3y = exp(2x), используя операторный метод.
Рассмотрим действие произвольного оператора L(D) с постоянными коэффициентами на экспоненциальную функцию exp(kx): Отсюда следует, что Поскольку дифференциальное уравнение в операторной форме записывается как то одним из решений такого уравнения является функция В данном примере оператор равен Следовательно, частное решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:

   Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения  y ^IV − y'' + y = 2sin (x), используя операторный метод.
Уравнение записывается в виде Данный дифференциальный многочлен содержит лишь четные степени оператора D. Можно заметить, что при действии оператора D² на функцию Asin (kx) мы получаем Ясно, что для произвольного дифференциального многочлена L(D²) с постоянными коэффициентами будет справедлива формула Тогда частное решение уравнения выражается формулой В нашем случае правая часть уравнения равна 2sin (x), а дифференциальный оператор можно записать в виде В результате получаем: