Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Производные тригонометрических функций
К основным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x или tan x), котангенс (ctg x или cot x), секанс (sec x) и косеканс (csc x).

Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция. Они называются, соответственно, арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x или arctan x), арккотангенс (arcctg x или arccot x), арксеканс (arcsec x) и арккосеканс (arccsc x).

Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения. Далее мы составим список производных для этих 12 функций.
Производные основных тригонометрических функций
На странице Определение производной мы уже вывели производные для синуса и косинуса. Они имеют следующий вид:
Используя правило дифференцирования частного двух функций, легко получить выражение для производной тангенса:
Точно также находится и производная котангенса. Однако это можно сделать и с помощью правила дифференцирования сложной функции:
Аналогичным образом найдем производные функций секанса и косеканса:
Производные обратных тригонометрических функций
Производные обратных тригонометрических функций можно вывести, используя теорему о производной обратной функции. Так, например, для функции  y = f (x) = arcsin x  обратной функцией является синус, т.е. x = φ (y) = sin y Тогда производная арксинуса равна:
Таким же способом можно вывести производные других обратных тригонометрических функций:
В последней формуле модуль |x| в знаменателе появляется в связи с тем, что произведение  tan y sec y  должно быть всегда положительным в области допустимых значений y, где  y ∈ (0, π/2) ∪ (π/2, π),  т.е. производная арксеканса всегда положительна.

Аналогично определяется производная арккосеканса:
Таблица производных тригонометрических функций
Рассмотренные производные 6 основных тригонометрических функций и 6 обратных тригонометрических функций представлены в следующей таблице:
 производная синуса производная арксинуса
 производная косинуса производная арккосинуса
 производная тангенса производная арктангенса
 производная котангенса производная арккотангенса
 производная секанса производная арксеканса
 производная косеканса производная арккосеканса
В приведенных ниже примерах найти производную заданной тригонометрической функции.

   Пример 1
      y = cos2x − 2sinx.
Решение.
Используя линейные свойства производной, правило дифференцирования сложной функции и формулу двойного угла, получаем:
     
   Пример 2
     
Решение.
Производная данной функции имеет следующий вид:
     
Числитель упрощается с помощью тригонометрического тождества
     
Поэтому
     
   Пример 3
     
Решение.
Используя формулы производной сложной функции и производной частного, получаем:
     
   Пример 4
     
Решение.
Применяем дважды правило дифференцирования сложной функции и упрощаем полученное выражение:
     
   Пример 5
     
Решение.
Найдем производную данной функции, используя правила дифференцирования степенной функции и сложной функции:
     
Здесь предполагается, что  cos x ≠ 0,  т.е.  xπ/2 + πn,  n ∈ Z.

   Пример 6
      y = cos2 sin x.
Решение.
Применяя правила дифференцирования степенной функции и сложной функции, получаем:
     
Последнее выражение можно упростить по формуле двойного угла:
     
Следовательно, производная равна
     
   Пример 7
     
Решение.
Применим правило производной сложной функции несколько раз.
     
По формуле двойного угла
     
Следовательно, производная равна
     
   Пример 8
     
Решение.
Используем формулы для производной суммы функций и производной степенной функции.
     
После подстановки производных и упрощения получаем:
     
Поскольку , то окончательное выражение для производной имеет вид
     
   Пример 9
     
Решение.
Первый шаг очевиден:
     
Так как
     
то применяя правило производной для сложной функции, находим:
     
Воспользовавшись для упрощения тригонометрическими формулами и , получаем ответ:
     
   Пример 10
Вывести формулу для производной арксинуса с помощью производной сложной функции.

Решение.
Функция  y(x) = arcsin x определена на открытом интервале (-1;1). Синус от арксинуса равен
     
Возьмем производную от обеих частей (левую часть дифференцируем как сложную функцию).
     
Отсюда следует, что производная арксинуса равна
     
где -1 < x < 1.

   Пример 11
     
Решение.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем
     
Отношение x/|x| означает просто знак переменной x (sign x). Поэтому окончательный ответ записывается как
     
   Пример 12
     
Решение.
     
   Пример 13
     
Решение.
Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, получаем:
     
Упростим это выражение, используя известные тригонометрические соотношения:
     
В данном примере область определения имеет вид:  x;  xπn,  nZ.

   Пример 14
     
Решение.
Здесь предполагается, что значения x удовлетворяют области определения функции, которая находится из решения неравенства:
     
Производная данной функции равна
     
   Пример 15
      y = sinn x cos nx.
Решение.
Сначала дифференцируем как произведение двух функций:
     
Далее, используя формулу производной степенной функции и формулу производной сложной функции, имеем:
     
Воспользуемся тригонометрическим соотношением
     
Тогда производная принимает следующий вид:
     
   Пример 16
Показать, что .

Решение.
Преобразуем левую часть:
     
     
Поскольку , получаем:
     
Тождество доказано.

   Пример 17
      y = (tan x)cos x, где  0 < x < π/2.
Решение.
Представим данную функцию таким образом:
     
Заметим, что здесь мы всегда имеем  tan x > 0  при условии  0 < x < π/2. Применяя правило дифференцирования сложной функции и формулу производной произведения, получаем:
     
   Пример 18
     
Решение.
Заметим, что функция арксинус определена на отрезке [−1, 1]. В нашем случае условие, определяющее допустимые значения x, выглядит так:
     
Видно, что данные неравенства соблюдаются для любых действительных x.

Вычислим производную, используя правило дифференцирования сложной функции:
     
Учтем, что отношение x/|x| равно ±1 в зависимости от знака переменной x, т.е.
     
Тогда производную можно записать как
     
   Пример 19
      y = sin(cos2 x)⋅cos(sin2 x).
Решение.
По формуле произведения двух функций:
     
Дифференцируя далее как сложную функцию и упрощая, получаем:
     
Применим тригонометрические тождества
     
Тогда производная записывается в виде
     
Аргумент y у косинуса в квадратных скобках можно снова упростить по формуле двойного угла:
     
В результате получаем следующее выражение для производной:
     
   Пример 20
     
Решение.
Начнем вычисление производной по формуле производной произведения:
     
Используя формулу для производной арккосеканса
     
и правило дифференцирования сложной функции, имеем:
     
Упрощаем полученное выражение:
     
Область определения данной функции и ее производной имеет вид:  x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1).

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014   info@math24.ru
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.