Производные тригонометрических функций

К основным тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x или tan x), котангенс (ctg x или cot x), секанс (sec x) и косеканс (csc x).

Для каждой из этих функций существует обратная тригонометрическая функция. Они называются, соответственно, арксинус (arcsin x), арккосинус (arccos x), арктангенс (arctg x или arctan x), арккотангенс (arcctg x или arccot x), арксеканс (arcsec x) и арккосеканс (arccsc x).

Все указанные функции непрерывны и дифференцируемы в своей области определения. Далее мы составим список производных для этих 12 функций. На странице Определение производной мы уже вывели производные для синуса и косинуса. Они имеют следующий вид: Используя правило дифференцирования частного двух функций, легко получить выражение для производной тангенса: Точно также находится и производная котангенса. Однако это можно сделать и с помощью правила дифференцирования сложной функции: Аналогичным образом найдем производные функций секанса и косеканса: Производные обратных тригонометрических функций можно вывести, используя теорему о производной обратной функции. Так, например, для функции  y = f (x) = arcsin x  обратной функцией является синус, т.е. x = φ (y) = sin y.  Тогда производная арксинуса равна: Таким же способом можно вывести производные других обратных тригонометрических функций: В последней формуле модуль |x| в знаменателе появляется в связи с тем, что произведение  tan y sec y  должно быть всегда положительным в области допустимых значений y, где  y ∈ (0, π/2) ∪ (π/2, π),  т.е. производная арксеканса всегда положительна.

Аналогично определяется производная арккосеканса: Рассмотренные производные 6 основных тригонометрических функций и 6 обратных тригонометрических функций представлены в следующей таблице: В приведенных ниже примерах найти производную заданной тригонометрической функции.

   Пример 1

Используя линейные свойства производной, правило дифференцирования сложной функции и формулу двойного угла, получаем:

   Пример 2

Производная данной функции имеет следующий вид: Числитель упрощается с помощью тригонометрического тождества Поэтому

   Пример 3

Используя формулы производной сложной функции и производной частного, получаем:

   Пример 4

Применяем дважды правило дифференцирования сложной функции и упрощаем полученное выражение:

   Пример 5

Найдем производную данной функции, используя правила дифференцирования степенной функции и сложной функции: Здесь предполагается, что  cos x ≠ 0,  т.е.  x ≠ π/2 + πn,  n ∈ Z.

   Пример 6

Применяя правила дифференцирования степенной функции и сложной функции, получаем: Последнее выражение можно упростить по формуле двойного угла: Следовательно, производная равна

   Пример 7

Применим правило производной сложной функции несколько раз. По формуле двойного угла Следовательно, производная равна

   Пример 8

Используем формулы для производной суммы функций и производной степенной функции. После подстановки производных и упрощения получаем: Поскольку , то окончательное выражение для производной имеет вид

   Пример 9

Первый шаг очевиден: Так как то применяя правило производной для сложной функции, находим: Воспользовавшись для упрощения тригонометрическими формулами и , получаем ответ:

   Пример 10

Вывести формулу для производной арксинуса с помощью производной сложной функции. Функция  y(x) = arcsin x определена на открытом интервале (-1;1). Синус от арксинуса равен Возьмем производную от обеих частей (левую часть дифференцируем как сложную функцию). Отсюда следует, что производная арксинуса равна где -1 < x < 1.

   Пример 11

По правилу дифференцирования сложной функции имеем Отношение x/|x| означает просто знак переменной x (sign x). Поэтому окончательный ответ записывается как

   Пример 12

   Пример 13

Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, получаем: Упростим это выражение, используя известные тригонометрические соотношения: В данном примере область определения имеет вид:  x ∈ ℜ;  x ≠ πn,  n ∈ Z.

   Пример 14

Здесь предполагается, что значения x удовлетворяют области определения функции, которая находится из решения неравенства: Производная данной функции равна

   Пример 15

Сначала дифференцируем как произведение двух функций: Далее, используя формулу производной степенной функции и формулу производной сложной функции, имеем: Воспользуемся тригонометрическим соотношением Тогда производная принимает следующий вид:

   Пример 16

Показать, что . Преобразуем левую часть: Поскольку , получаем: Тождество доказано.

   Пример 17

Представим данную функцию таким образом: Заметим, что здесь мы всегда имеем  tan x > 0  при условии  0 < x < π/2. Применяя правило дифференцирования сложной функции и формулу производной произведения, получаем:

   Пример 18

Заметим, что функция арксинус определена на отрезке [−1, 1]. В нашем случае условие, определяющее допустимые значения x, выглядит так: Видно, что данные неравенства соблюдаются для любых действительных x.

Вычислим производную, используя правило дифференцирования сложной функции: Учтем, что отношение x/|x| равно ±1 в зависимости от знака переменной x, т.е. Тогда производную можно записать как

   Пример 19

По формуле произведения двух функций: Дифференцируя далее как сложную функцию и упрощая, получаем: Применим тригонометрические тождества Тогда производная записывается в виде Аргумент y у косинуса в квадратных скобках можно снова упростить по формуле двойного угла: В результате получаем следующее выражение для производной:

   Пример 20

Начнем вычисление производной по формуле производной произведения: Используя формулу для производной арккосеканса и правило дифференцирования сложной функции, имеем: Упрощаем полученное выражение: Область определения данной функции и ее производной имеет вид:  x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1).