Производная степенной функции

Если f(x) = x^p, где p − действительное число, то Вывод этой формулы приведен на странице Определение производной.

Если показатель степени является отрицательным числом, т.е. f(x) = x^−p, то Пусть . Тогда где a_n, a_{n − 1},…, a₁, a₀, n − постоянные величины. В частности, для квадратичной функции где a, b, c − постоянные коэффициенты. Если , то такую функцию можно представить как степенную с показателем 1/m. Ее производная равна В частности, производная квадратного корня имеет вид: Производная кубического корня, соответственно, равна

   Пример 1

Вычислить производную функции . Применим правило суммы: Вынесем постоянные множители за знак производной: Найдем производные степенных функций: Окончательно получаем

   Пример 2

Вычислить производную функции . Производная постоянной величины равна нулю. Следовательно,

   Пример 3

Найти производную функции . Дифференцируем сначала как сумму функций: Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, получаем

   Пример 4

Найти производную следующей функции Используя правило дифференцирования полинома, получаем выражение для производной в виде

   Пример 5

Найти производную функции Производная записывается в виде:

   Пример 6

Найти производную функции . Производная имеет следующий вид:

   Пример 7

Вычислить значение производной функции в точке x = 1. Производная данной функции имеет вид: Значение производной в точке x = 1 равно:

   Пример 8

Найти производную функции . Здесь мы имеем дело с линейной функцией, коэффициенты которой являются иррациональными числами. Поэтому,

   Пример 9

Найти производную функции . Представив данную иррациональную функцию как степенную, получаем:

   Пример 10

Найти производную иррациональной функции , где m ≠ 0. Дифференцируя как степенную функцию с дробным показателем степени, получаем

   Пример 11

Вычислить производную функции . Производная данной степенной функции равна

   Пример 12

Найти производную следующей функции: . Данную функцию можно представить в виде полинома: Дифференцируя почленно, получаем:

   Пример 13

Вычислить производную функции . Перепишем функцию в виде: Используем формулу производной суммы нескольких функций: Вынесем постоянные множители и вычислим производные степенных функций: Здесь мы использовали выражение . После упрощения получаем

   Пример 14

Найти производную функции . Перейдем к записи в степенной форме: Производная разности функций равна разности производных этих функций: Вычисляя производные степенных функций, получаем

   Пример 15

Найти производную функции . Преобразуем каждое слагаемое данной функции в степенную форму: Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования степенной функции, получаем:

   Пример 16

Найти производную функции . Представив слагаемые в виде степенных функций, получаем следуюшее выражение для производной:

   Пример 17

Вычислить производную функции . По правилу дифференцирования степенной функции находим:

   Пример 18

Найти производную иррациональной функции . Преобразуя функцию к степенной форме, получаем:

   Пример 19

Найти производную следующей иррациональной функции . Аналогично предыдущему примеру, получаем:

   Пример 20

Найти производную функции . Дифференцируя заданную функцию как степенную, получаем: