Производная произведения и частного функций

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и Докажем приведенную формулу, используя определение производной. Для этого найдем приращение произведения функций uv, считая, что аргумент изменяется на величину Δx: Учтем, что где Δu и Δv − приращения, соответственно, функций u и v. Опуская для краткости аргумент x у функций u и v, запишем приращение Δ(uv) в следующем виде: Перейдем к вычислению производной произведения, используя свойства пределов: В первом пределе функция u не зависит от приращения Δx. Поэтому ее можно вынести за знак предела. То же самое относится и к функции v во втором слагаемом. Вычислим отдельно предел : Таким образом, производная произведения выражается формулой Внимание:
Производная произведения двух функций НЕ РАВНА произведению производных этих функций!

Из данной формулы легко получить выражение для производной функции kf(x), где k − некоторая константа: то есть постоянный сомножитель можно выносить за знак производной. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле Эта формула доказывается аналогичным образом. Приращение частного можно записать в виде Производная частного выражается через предел следующим образом: Используя далее свойства пределов, находим: Учитывая, что , получаем окончательное выражение для производной частного двух функций:

   Пример 1

Найти производную функции y = 2/x. Используем правило для вычисления производной частного.

   Пример 2

Найти производную cтепенной функции с отрицательным показателем y = x⁻ⁿ. Запишем функцию в виде  y(x) = 1/xⁿ и воспользуемся формулой для производной частного. Получаем

   Пример 3

Вычислить производную  y(x) = tan x, используя формулу производного частного. Запишем тангенс в виде . Тогда Поскольку  (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x,  производная равна

   Пример 4

Пусть  y(x) = sin²x.  Продифференцировать данную функцию, не используя производную сложной функции. Представим функцию в виде  y(x) = sin x sin x. По формуле производной произведения Так как  (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x,  получаем

   Пример 5

Найти производную функции . Используя правила дифференцирования степенной функции и частного, находим следующее выражение для производной:

   Пример 6

Найти производную функции секанс  y = sec x. Производную секанса можно вычислить, используя формулу для производной частного:

   Пример 7

Найти производную функции  y = e ^xcos x. Дифференцируя данную функцию как произведение, находим:

   Пример 8

Найти производную функции и вычислить ее значение при x = 0. По правилу дифференцирования частного находим: В точке x = 0 производная равна

   Пример 9

Найти производную функции  y = x²sin x. По формуле производной произведения получаем:

   Пример 10

Дана функция z = (x² + 1)(x − 1). Найти значение ее производной в точке x = −1. Вычислим производную по формуле производной произведения: В точке x = −1 производная будет равна

   Пример 11

Найти формулу для производной произведения трех функций. Пусть  f(x) = u(x)v(x)w(x).  Предварительно сгруппировав, применим формулу производной произведения двух функций: Поскольку  [u(x)v(x)]' = u'v + uv',  получаем

   Пример 12

Найти производную функции . Применяя формулу производной частного двух функций, получаем

   Пример 13

Вычислить производную функции . По формуле производной частного находим Заметим, что окончательное выражение для производной имеет область определения, отличную от области определения исходной функции. Это связано с потерей корня при сокращении числителя и знаменателя на (1 + cos x). На самом деле, область определения как исходной функции, так и ее производной представляет собой все множество действительных чисел ℜ, исключая точки, в которых

   Пример 14

Продифференцировать функцию y = (3 − 2x)(2 − 3x).

   Пример 15

Продифференцировать функцию x³2^x. По правилу дифференцирования произведения получаем:

   Пример 16

Найти производную дробно-линейной функции . По правилу дифференцирования частного получаем: Заметим, что числитель можно записать через определитель: Окончательное выражение для производной выглядит так:

   Пример 17

Вычислить производную функции .

   Пример 18

Найти производную функции y = (1 + nx^m)(1 + mxⁿ). По правилу дифференцирования произведения функций получаем следующее выражение для производной:

   Пример 19

Вычислить производную следующей функции: . Используя формулу дифференцирования частного, имеем:

   Пример 20

Вывести формулу производной функции . Сначала дифференцируем данную функцию по формуле производной частного: Далее, используя формулу производной произведения двух функций, получаем: