Производная обратной функции

Рассмотрим функцию f(x), которая является строго монотонной на некотором интервале (a, b). Если в этом интервале существует точка x₀, такая, что f '(x₀) ≠ 0, то функция x = φ(y), обратная к функции y = f(x), также дифференцируема в точке y₀ = f(x₀) и ее производная равна Докажем приведенную теорему о производной обратной функции.

Пусть переменная y получает в точке y₀ приращение Δy ≠ 0. Соответствующее ему приращение переменной x в точке x₀ обозначим как Δx, причем Δx ≠ 0 в силу строгой монотонности функции y = f(x). Запишем отношение приращений в виде Допустим, что Δy → 0. Тогда Δx → 0, поскольку обратная функция x = φ(y) является непрерывной в точке y₀. В пределе, при Δx → 0, правая часть записанного соотношения становится равной В таком случае левая часть также стремится к пределу, который по определению равен производной обратной функции: Таким образом, то есть производная обратной функции равна обратной величине производной исходной функции.

В приведенных ниже примерах найти производную заданной функции y = f(x) с помощью производной обратной функции x = φ(y).

   Пример 1

Определим сначала обратную функцию для заданной функции . Для этого выразим переменную x через y: По теореме о производной обратной функции можно записать: Теперь вместо y подставляем . В результате получаем выражение для производной заданной функции:

   Пример 2

Функция арксинус является обратной к функции синус. Поэтому  x = φ(y) = sin y.  Тогда производная арксинуса равна где  −1 < x < 1. 

   Пример 3

Натуральный логарифм и экспоненциальная функция являются взаимно-обратными функциями. Следовательно,  x = φ(y) = e ^x,  где  x > 0,  y ∈ ℜ.  Производную натурального логарифма легко вычислить через производную экспоненциальной функции: Здесь мы воспользовались основным логарифмическим тождеством, согласно которому

   Пример 4

Найдем сначала обратную функцию x = φ(y) для заданной функции y = f(x), которая является монотонно возрастающей при любых x ∈ ℜ. Выразим x через y: Теперь найдем производную f '(x):

   Пример 5

Функция арккосинус определена и монотонна на отрезке [−1, 1]. Следовательно, область определения исходной функции имеет вид: Запишем обратную функцию x = φ(y): Вычислим производную исходной функции через производную обратной функции: Заметим, что производная не определена в граничных точках x = 0 и x = 1 области определения функции y = f(x).

   Пример 6

Данная функция определена и монотонно возрастает при x > 0. Поэтому на этом интервале можно построить обратную функцию. Выразим x через y: Теперь определим производную заданной функции y = f(x), используя теорему о производной обратной функции: Подставим вместо y выражение для исходной функции:

   Пример 7

Обратная функция для данной функции имеет такой вид: Найдем производную исходной функции y = f(x): Воспользуемся тригонометрическим тождеством Тогда Видно, что производная функции  y = arctan(1/x)  отличается лишь знаком от производной функции  y = arctan x .

   Пример 8

Данная функция является обратной к квадратичной функции  x = φ(y) = y².  Поэтому ее производная равна

   Пример 9

Запишем функцию x = φ(y), обратную к заданной функции y = f(x): Тогда производная f '(x) имеет следующий вид:

   Пример 10

Дана функция y = x⁵ + 2x³ + 3x. Найти производную обратной функции в точке x = 1. В данном примере прямое вычисление обратной функции и ее производной будет слишком громоздким. Поэтому мы вычислим значение производной исходной функции в заданной точке и затем найдем обратную величину. Значение производной f '(x) при x = 1 равно: Сама функция в точке x = 1 принимает значение, равное По теореме о производной обратной функции получаем

   Пример 11

Найдем производную исходной функции Заметим, что точка x = 1/2 разделяет области убывания (x < 1/2) и возрастания (x > 1/2) исходной функции. Каждому интервалу монотонности соответствует своя обратная функция, которые обозначим как φ₁(y) и φ₂(y). Выражения для этих функций можно получить в явном виде, решив уравнение y = f(x) относительно x: Производная обратной функции определяется по формуле Подставляя явные выражения  x = φ₁(y)  и  x = φ₂(y)  для обеих ветвей обратной функции, имеем:

   Пример 12

Дана функция e ^x + 2x + 1. Найти производную обратной функции при x = 0. При x = 0 заданная функция принимает значение Производная функции y = f(x) и ее значение в точке x = 0 равны По теореме о производной обратной функции находим

   Пример 13

Для функции  y = sin (x − 1) + x²  найти производную обратной функции в точке x = 1. Вычислим значение исходной функции и ее производной при x = 1: Отсюда находим значение производной обратной функции x = φ(y):

   Пример 14

Найти производную обратной функции для  y = x² + 2ln x  и вычислить ее значение в точке x = 1. Исходная функция y = f(x) определена при x > 0. В этой области ее производная положительна: Следовательно, функция является монотонно возрастающей и для нее существует обратная функция.
По теореме о производной обратной функции имеем В данном случае зависимость x(y) невозможно выразить в явном виде. Однако из полученной формулы легко определить значение производной обратной функции при x = 1. Предварительно вычислим соответствующее значение y: Тогда

   Пример 15

Найти производную обратной функции для  y = x³ − 3x  и вычислить ее значение при x = −2. Судя по производной: функция имеет три интервала монотонности: Каждому интервалу можно сопоставить свою обратную функцию. Далее мы считаем, что рассматривается обратная функция, соответствующая первому интервалу, который содержит точку x = −2.

Производная обратной функции имеет вид: Сама функция при x = −2 равна Тогда значение производной обратной функции в указанной точке составляет

   Пример 16

Найти производную обратной функции для  y = 2x³ − 1  и вычислить ее значение при x = 2. Вычислим производную заданной функции: Видно, что производная меняет знак при переходе через точку x = 0, т.е. функция убывает при x < 0 и возрастает при x > 0. Далее мы рассмотрим ветвь, включающую точку x = 2. В этой области существует обратная функция. Ее производная определяется по формуле Учитывая, что  y (x = 2) = 2 ⋅ 2³ − 1 = 15,  получаем

   Пример 17

Функция  y = f (x) = log₃(x/3)  определена при x > 0 и монотонно возрастает на этом интервале. Следовательно, она имеет обратную функцию x = φ(y): По теореме о производной обратной функции находим: Здесь мы использовали основное логарифмическое тождество

   Пример 18

Найти значение производной арксеканса  y = arcsec x  при  x = √2. Воспользуемся тем, что арксеканс является обратной функцией для секанса. Будем считать, что выражение для производной секанса известно: Учтем, что секанс принимает значение √2 в точке  y = π/4:  Тогда по теореме о производной обратной функции получаем Соответственно, значение производной арксеканса в точке x = √2 равно:

   Пример 19

Найти производную функции обратной к функции  y = x ⋅ 3 ^x  при условии x > 0. Вычислим производную заданной функции: Видно, что производная положительна при x > 0. Следовательно, в этой области функция монотонно возрастает и для нее существует обратная функция  x = φ(y).  Производная обратной функции выражается формулой

   Пример 20

Найти производную функции  y = Arsh x  (обратный гиперболический синус). Функции  y = Arsh x  (обратный гиперболический синус) и  x = sh y  (гиперболический синус) являются взаимно-обратными. Поэтому, по теореме о производной обратной функции имеем: Выразим  ch y  через  sh y,  используя соотношение (аналог основного тригонометрического тождества для гиперболических функций).

Отсюда находим Учитывая, что  sh (Arsh x) = x,  получаем следующее выражение для производной обратного гиперболического синуса: