Простейшие правила дифференцирования

Операция дифференцирования или нахождения производной функции обладает фундаментальным свойством линейности. Это свойство упрощает нахождение производных функций, которые образованы из основных элементарных функций с помощью операций сложения и умножения на постоянное число. Простейшие правила дифференцирования позволяют вычислять производные таких функций без использования формального определения производной. Рассмотрим эти правила более подробно. Если f(x) = С, то Доказательство этого правила рассмотрено на странице Определение производной. Пусть k некоторая константа. Если f(x) - дифференцируемая функция, то произведение kf(x) также дифференцируемо и Пусть f(x) и g(x) являются дифференцируемыми функциями. Тогда сумма двух функций также дифференцируема и Пусть n функций f₁(x), f₂(x),…, f_n(x) являются дифференцируемыми. Тогда их сумма также дифференцируема и Из этого и предыдущего правил следует, что производная разности функций равна разности производных при условии дифференцируемости данных функций: Можно сформулировать более общее правило:

Предположим, что f(x) и g(x) являются дифференцируемыми функциями, а a и b - произвольными действительными числами. Тогда функция h(x) = af(x) + bg(x) также дифференцируема и Добавим в данный список еще одно простое правило: Если f(x) = x, то Вывод этой формулы также приведен на странице Определение производной.

   Пример 1

Найти производную функции y = x² − 5x. Применяя линейные правила дифференцирования, получаем:

   Пример 2

Найти производную функции , где a и b - константы.

   Пример 3

Найти производную функции  2√x − 3sin x. Используя простейшие правила дифференцирования, получаем:

   Пример 4

Найти производную функции y = 3sin x + 2cos x. Данное выражение представляет собой линейную комбинацию двух тригонометрических функций. Производная имеет следующий вид:

   Пример 5

Пусть . Найти производную функции в точке x = 3. Поскольку 3² - 8 = 1 > 0, то функция в точке x = 3 эквивалентна Производная данной функции равна В точке x = 3 значение производной будет

   Пример 6

Найти производную функции . Применяя линейные свойства производной, получаем следующий ответ:

   Пример 7

Найти производную функции . Используя приведенные выше формулы дифференцирования, имеем: Здесь первое слагаемое является степенной функцией с показателем 1/3. Тогда для производной получаем следующее выражение:

   Пример 8

Вычислить производную следующей функции Чтобы решить данный пример с помощью рассмотренных выше правил дифференцирования, перемножим обе скобки и запишем функцию в таком виде: Теперь легко найти производную:

   Пример 9

Вычислить производную функции y = (x − 1)(x − 2)², не используя формулу производной произведения.

Раскрывая скобки, запишем заданную функцию как Производная этой функции равна

   Пример 10

Найти производную функции , не используя формулу производной частного.

Разделив числитель на знаменатель почленно, запишем функцию в виде Далее, применяя линейные свойства производной, находим: