Уравнение Риккати

Уравнение Риккати является одним из наиболее интересных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в форме: где a(x), b(x), c(x) − непрерывные функции, зависящие от переменной x.

Уравнение Риккати встречается в различных областях математики (например, в алгебраической геометрии и в теории конформных отображений) и физики. Оно также нередко возникает в прикладных математических задачах.

Приведенное выше уравнение называется общим уравнением Риккати. Его решение основано на следующей теореме:

Теорема: Если известно частное решение y₁ уравнения Риккати, то его общее решение определяется формулой Действительно, подставляя решение  y = y₁ + u в уравнение Риккати, имеем: Подчеркнутые члены в левой и правой части можно сократить, поскольку y₁ − частное решение, удовлетворяющее уравнению. В результате мы получаем дифференциальное уравнение для функции u(x): которое является уравнением Бернулли. Подстановка  z = 1/u преобразует данное уравнение Бернулли в линейное дифференциальное уравнение, допускающее интегрирование.

Помимо общего уравнения Риккати, существует множество частных случаев уравнения Риккати с коэффициентами a(x), b(x), c(x) определенного вида. Многие из этих частных случаев имеют интегрируемые решения.

Возвращаясь вновь к общему уравнению Риккати, мы видим, что общее решение можно сконструировать, если известно какое-либо частное решение. К сожалению, не существует строгого алгоритма для нахождения частного решения, которое существенно зависит от вида функций a(x), b(x) и c(x).

Ниже мы рассмотрим некоторые хорошо известные частные случаи уравнения Риккати. Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то такое уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными. В этом случае общее решение описывается интегралом от рациональной функции с квадратичным трехчленом в знаменателе: Этот интеграл легко вычисляется при любых значениях a, b и c (Смотрите более подробно об этом на странице "Интегрирование рациональных функций"). Рассмотрим уравнение Риккати вида y' = by ² + cxⁿ, когда функция a(x) при линейном члене равна нулю, коэффициент b при y² является константой, а c(x) является степенной функцией: Этот случай уравнения Риккати имеет замечательные решения!

Прежде всего, заметим, что если n = 0, то мы снова приходим к случаю 1, в котором переменные разделяются и уравнение можно проинтегрировать.

Если n = −2, то уравнение Риккати преобразутся в однородное уравнение с помощью подстановки y = 1/z и далее также допускает интегрирование.

Данное дифференциальное уравнение можно также решить при Здесь общее решение выражается через цилиндрические функции.

При всех других значениях степени n  решение уравнения Риккати можно выразить через интегралы от элементарных функций. Этот факт был установлен французским математиком Джозефом Лиувиллем (1809-1882) в 1841 году.

Многие другие частные случаи уравнения Риккати представлены на сайте EqWorld.

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение  y' = y + y² + 1. Данное уравнение является простейшим уравнением Риккати с постоянными коэффициентами. Переменные x, y здесь легко разделяются, так что общее решение уравнения определяется в следующем виде:

   Пример 2

Решить уравнение Риккати . Будем искать частное решение в форме: Подставляя это в уравнение, находим: Получаем квадратное уравнение для c: Мы можем выбрать любое значение c. Например, пусть c = 2. Теперь, когда частное решение известно, сделаем замену: Снова подставим это в исходное уравнение Риккати: Как видно, мы получили уравнение Бернулли с параметром m = 2. Сделаем еще одну замену: Разделим уравнение Бернулли на z² (полагая, что z ≠ 0) и запишем его через переменную v: Последнее уравнение является линейным и легко решается с помощью интегрирующего множителя: Общее решение линейного уравнения определяется функцией Теперь мы будем последовательно возвращаться к предыдущим переменным. Так как z = 1/v, то общее решение для z записывается следующим образом: Следовательно, Можно переименовать константу: 3C = C₁ и записать ответ в виде где C₁ − произвольное действительное число.

   Пример 3

Найти общее решение дифференциального уравнения  x³y' + x²y − y² = 2x⁴. Приведем уравнение к стандартному виду: Видно, что мы имеем дело с уравнением Риккати. Попробуем найти частное решение в форме  y₁ = cx². Подставляя это в дифференциальное уравнение, можно определить коэффициент c: Решая квадратное уравнение, находим значение c:: Итак, мы получили даже два частных решения. Поскольку достаточно знать только одно, то выберем, например,  y₁ = x².

В результате можно записать общее решение уравнения Риккати в форме: Для новой функции u(x) получаем следующее дифференциальное уравнение: которое представляет собой уравнение Бернулли. Подстановка преобразует его в линейное дифференциальное уравнение: Чтобы решить это линейное уравнение, вычислим интегрирующий множитель: Можно взять функцию v(x) = x в качестве интегрирующего множителя. В самом деле, можно убедиться, что после умножения на v(x) = x левая часть уравнения становится производной произведения z(x)v(x). Общее решение линейного дифференциального уравнения имеет вид: Поскольку z = 1/u, то функция u(x) определяется формулой Следовательно, общее решение исходного уравнения Риккати выражается функцией где C − произвольная постоянная.

   Пример 4

Решить уравнение . Видно, что данное уравнение является частным случаем уравнения Риккати вида  y' = by² + cxⁿ со степенью n = −2.

Сделав подстановку y = 1/z, можно преобразовать это уравнение в однородное и затем проинтегрировать.
Пусть . Тогда Для решения однородного уравнения сделаем еще одну замену:  z = tx,  z' = t'x + t. Следовательно, Трехчлен в знаменателе дроби в левой части можно разложить следующим образом: и затем рациональную дробь в подынтегральном выражении с помощью метода неопределенных коэффициентов можно разложить на сумму простых дробей: В результате мы получаем: Переобозначим константу: , так что решение для функции t(x) будет иметь вид: Вспомним, что . Поэтому Возвращаясь к переменной y, которая связана с z соотношением , находим: Последнее выражение представляет собой общее решение заданного уравнения Риккати в неявной форме. Здесь постоянная C является любым действительным числом. Действительно, подставляя C = 0, мы видим, что это значение также удовлетворяет дифференциальному уравнению: Следовательно,