Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде где a(x) и b(x) − непрерывные функции.

Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.

В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет вид и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

   Пример 1

Найти общее решение уравнения  y' − y = y²e^x. Для заданного уравнения Бернулли m = 2, поэтому сделаем подстановку Дифференцируя обе части уравнения (переменная y при этом рассматривается как сложная функция x), можно записать: Разделим обе части исходного дифференциального уравнения на y²: Подставляя z и z', находим: Мы получили линейное уравнение для функции z(x). Решим его с помощью интегрирующего множителя: Общее решение линейного уравнения выражается формулой Возвращаясь к функции y(x), получаем ответ в неявной форме: который можно записать также в виде: Заметим, что при делении уравнения на y² мы потеряли решение y = 0. В результате, полный ответ записывается в виде:

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение . Нетрудно заметить, что данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли. Чтобы решить его, выполним подстановку После дифференцирования получаем: Разделим исходное уравнение на y² и заменим y на z: При делении на y² мы потеряли решение y = 0. (Это можно проверить прямой подстановкой.)

Дифференциальное уравнение для новой переменной z имеет вид: Мы получили линейное уравнение для функции z(x), которое можно решить, например, с помощью интегрирующего множителя: Легко проверить, что таким интегрирующим множителем будет являться функция 1/x. В самом деле: Видно, что левая часть уравнения после умножения на 1/x будет являться произведением z(x)u(x)

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения для функции z(x) определяется формулой Принимая во внимание, что y = 1/z, записываем ответ в форме: или в неявном виде: Следовательно, окончательный ответ имеет вид:

   Пример 3

Найти все решения дифференциального уравнения  y' + y cot x = y⁴ sin x. В этом примере мы имеем дело с уравнением Бернулли с параметром m = 4. Поэтому, сделаем подстановку z = y^{1 − m} = y⁻³. Производная будет равна Умножим обе части исходного уравнения на (−3) и разделим на y⁴: Заметим, что при делении на y⁴ мы потеряли решение y = 0. Записывая последнее уравнение через переменную z, получаем Данное дифференциальное уравнение является линейным. Его можно решить, например, используя интегрирующий множитель: В качестве интегрирующего множителя возьмем функцию . После умножения на u(x) левая часть уравнения будет представлять собой производную произведения z(x)u(x): Следовательно, общее решение линейного дифференциального уравнения для функции z(x) представляется в виде: Поскольку z = y⁻³, то мы получаем следующие решения исходного уравнения Бернулли:

   Пример 4

Найти все решения дифференциального уравнения . Данное уравнение является уравнением Бернулли с дробным параметром m = 1/2. Его можно свести к линейному дифференциальному уравнению с помошью замены . Производная новой функции z(x) будет равна Разделим исходное уравнение Бернулли на . Аналогично другим примерам на этой веб-странице, корень y = 0 также является тривиальным решением дифференциального уравнения. Поэтому можно записать: Заменяя y на z, находим: Итак, мы имеем линейное уравнение для функции z(x). Интегрирующий множитель здесь будет равен Выберем в качестве интегрирующего множителя функцию u(x) = x. Можно проверить, что после умножения на u(x) левая часть уравнения бедут представлять собой производную произведения z(x)u(x): Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения будет определяться выражением: Возвращаясь к исходной функции y(x), записываем решение в неявной форме: Итак, полный ответ имеет вид:

   Пример 5

Найти решение дифференциального уравнения 4xyy' = y² + x², удовлетворяющее начальному условию y(1) = 2. Сначала мы проверим, что заданное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли: Как видно, мы имеем уравнение Бернулли с параметром m = −1. Следовательно, можно сделать замену z = y^{1 − m} = y². Производная будет равна: z' = 2yy'. Далее, умножим обе части дифференциального уравнения на 2y: Заменяя y на z, преобразуем уравнение Бернулли в линейное дифференциальное уравнение: Вычислим интегрирующий множитель: Найдем общее решение линейного уравнения: Учитывая, что z = y², решение можно записать в виде: Теперь определим константу C, соответствующую начальному условию y(1) = 2.
Видно, что только решение с положительным знаком удовлетворяет данному условию. Следовательно, В результате получаем: C = 4.

Итак, решение задачи Коши выражается функцией