Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;
• Метод вариации постоянной.

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме: то интегрирующий множитель определяется формулой: Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде: где C − произвольная постоянная. Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).

Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату. Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x₀) = y₀, то такая задача называется задачей Коши.

Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x₀) = y₀.

   Пример 1

Решить уравнение  y' − y − xe^x = 0. Запишем данное уравнение в стандартной форме: Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель: Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение . Будем решать данную задачу методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения: которое решается разделением переменных: где C − произвольное положительное число.

Теперь заменим константу C на некоторую (пока неизвестную) функцию C(x) и далее будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде: Производная равна Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем: Интегрируя, находим функцию C(x): где C₁ − произвольное действительное число.

Таким образом, общее решение заданного уравнения записывается в виде:

   Пример 3

Решить уравнение y' − 2y = x. A. Сначала решим данную задачу с помощью интегрирующего множителя. Наше уравнение уже записано в стандартной форме. Поэтому: Тогда интегрирующий множитель имеет вид: Общее решение исходного уравнения записывается в виде: Вычислим последний интеграл, применяя интегрирование по частям. Получаем B. Теперь сконструируем решение методом вариации постоянной. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение и найдем его общее решение: где C вновь обозначает произвольное действительное число. Заметим, что при C = 0, мы получаем решение y = 0, которое также удовлетворяет однородному уравнению.

Далее предположим, что C является функцией x и подставим решение y = C(x)e^2x в исходное неоднородное уравнение. Выражение для производной имеет вид: Следовательно, Этот интеграл уже был найден в пункте A, поэтому, можно записать: В результате, общее решение неоднородного дифференциального уравнения выражается формулой: Как видно, оба метода приводят к одному и тому же ответу :).

   Пример 4

Решить дифференциальное уравнение x²y' + xy + 2 = 0. Будем решать данный пример методом вариации постоянной. Для удобства запишем уравнение в стандартной форме: Разделим обе части на x². Очевидно, что корень x = 0 не является решением уравнения.

Рассмотрим однородное уравнение: После простых преобразований получаем ответ: y = C/x, где C − произвольное действительное число. Последнее выражение включает случай y = 0, который также является одним из решений однородного уравнения.

Теперь заменим константу C на функцию C(x) и подставим решение y = C(x)/x в исходное неоднородное дифференциальное уравнение. Поскольку то получаем: Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

   Пример 5

Решить задачу Коши: Сначала вычислим интегрирующий множитель, который записывается в виде Здесь Следовательно, интегрирующий множитель определяется формулой: Мы можем взять функцию  u(x) = cos x в качестве интегрирующего множителя. Легко убедиться, что левая часть уравнения после умножения на интегрирующий множитель становится производной произведения y(x)u(x): Тогда общее решение заданного уравнения записывается следующим образом: Теперь определим постоянную C, котоая удовлетворяет начальному условию y(0) = 1: Отсюда следует, что C = 4/3.

Следовательно, решение задачи Коши выражается формулой:

   Пример 6

Решить дифференциальное уравнение (задачу Коши) с начальным условием y(1) = 2. Определим интегрирующий множитель: В качестве такого множителя выберем функцию u(x) = x³. Можно проверить, что левая часть уравнения после умножения на интегрирующий множитель будет представлять собой производную произведения y(x)u(x): Общее решение уравнения записывается в форме: Теперь можно найти постоянную C, используя начальное условие y(1) = 2. Подстановка общего решения в начальное условие дает следующий результат: Итак, решение задачи Коши выглядит следующим образом:

   Пример 7

Найти общее решение дифференциального уравнения  y = (2y⁴ + 2x)y'. Видно, что данное уравнение не является линейным по отношению к функции y(x). Однако мы можем попытаться найти решение для обратной функции x(y). Запишем заданное уравнение через дифференциалы и сделаем некоторые преобразования: Мы получили линейное дифференциальное уравнение по отношению к функции x(y). Решим его с помощью интегрирующего множителя: Общее решение в виде обратной функции x(y) выражается формулой: