Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
   
2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
   
3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;
   
4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим указанные шаги более подробно.

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение: где - правильная рациональная дробь.

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Запишем рациональную функцию в следующем виде: Общее число неопределенных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).

Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i , B_i , K_i , L_i , M_i , N_i , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: где Затем применяются следующие формулы: Интеграл может быть вычислен за k шагов с помощью формулы редукции

   Пример 1

Вычислить интеграл . Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби: Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями: Следовательно, Тогда Теперь легко вычислить исходный интеграл

   Пример 2

Вычислить интеграл . Сначала выделим правильную рациональную дробь, разделив числитель на знаменатель. Получаем

   Пример 3

Вычислить интеграл .

   Пример 4

Вычислить интеграл . Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов: Определим ы: Следовательно, Получаем Интеграл, соответственно, равен

   Пример 5

Найти интеграл . Разложим подынтегральное выражение на сумму двух дробей. Найдем неизвестные коэффициенты. Отсюда получаем Подынтегральное выражение представляется в виде Исходный интеграл равен

   Пример 6

Найти интеграл . Разложим знаменатель в подынтегральном выражении на множители: Далее представим подынтегральное выражение в виде суммы простейших дробей Определим коэффициенты: Следовательно, Отсюда находим Теперь вычислим исходный интеграл

   Пример 7

Вычислить интеграл . Перепишем знаменатель рациональной дроби в следующем виде: Поскольку полученные множители являются несократимыми квадратичными функциями, то подынтегральное выражение представляется в виде Определим неизвестные коэффициенты. Получаем Следовательно, Интегрируем каждое слагаемое и находим ответ.

   Пример 8

Вычислить интеграл . Разложим знаменатель на множители: Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Сгруппируем члены с одинаковыми степенями чтобы определить неизвестные коэффициенты из системы линейных уравнений. Следовательно, Таким образом, подынтегральное выражение представляется в виде Окончательно находим

   Пример 9

Вычислить интеграл . Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, учитывая что знаменатель имеет кратный корень 3-го порядка: Определим неизвестные коэффициенты. Получаем систему уравнений Следовательно, Исходный интеграл равен

   Пример 10

Вычислить интеграл . Поскольку - несократимый квадратный трехчлен, выделим в знаменателе полный квадрат: Найдем полученный интеграл с помощью формулы редукции Получаем ответ: