Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y: где p(x) и h(y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y' как отношение дифференциалов , перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y): Разумеется, нужно убедиться, что h(y) ≠ 0. Если найдется число x₀, при котором h(x₀) = 0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив , запишем уравнение в форме: Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение: где C − постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

   Пример 1

Решить дифференциальное уравнение . В данном случае p(x) = 1 и h(y) = y(y +2). Разделим уравнение на h(y) и перенесем dx в правую часть: Заметим, что при делении мы могли потерять решения y = 0 и y = −2 в случае когда h(y) равно нулю. Действительно, убедимся, что y = 0 является решением данного дифференциального уравнения. Пусть Подставляя это в уравнение, получаем: 0 = 0. Следовательно, y = 0 будет являться одним из решений. Аналогично можно проверить, что y = −2 также является решением уравнения.

Вернемся обратно к дифференциальному уравнению и проинтегрируем его: Интеграл в левой части можно вычислить методом неопределенных коэффициентов: Таким образом, мы получаем следующее разложение рациональной дроби в подыинтегральном выражении: Следовательно, Переименуем константу: 2C = C₁. В итоге, окончательное решение уравнения записывается в виде: Общее решение здесь выражено в неявном виде. В данном примере мы можем преобразовать его и получить ответ в явной форме в виде функции y = f(x,C₁), где C₁ − некоторая константа. Однако это можно сделать не для всех дифференциальных уравнений.

   Пример 2

Решить дифференциальное уравнение . Запишем данное уравнение в следующем виде: Разделим обе части на (x² + 4)y: Очевидно, что x² + 4 ≠ 0 для всех действительных x. Проверим, что y = 0 является одним из решений уравнения. После подстановки y = 0 и dy = 0 в исходное дифференциальное уравнение видно, что функция y = 0 действительно является решением уравнения.

Теперь можно проинтегрировать полученное уравнение: Заметим, что dx² = d(x² + 4). Следовательно, Представим константу C как lnC₁, где C₁ > 0. Тогда Таким образом, заданное дифференциальное уравнение имеет следующие решения: Полученный ответ можно упростить. В самом деле, введем произвольную константу C, принимающую значения от −∞ до +∞. Тогда решение можно записать в виде: При C = 0, оно становится равным y = 0.

   Пример 3

Найти все решения дифференциального уравнения y' = −xe ^y. Преобразуем уравнение следующим образом: Очевидно, что деление на e ^y не приводит к потере решения, поскольку e ^y > 0. После интегрирования получаем Данный ответ можно выразить в явном виде: В последнем выражении предполагается, что константа C > 0, чтобы удовлетворить области определения логарифмической функции.

   Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения при условии y(1) = −1. Разделим обе части уравнения на x: Мы предполагаем, что x ≠ 0, поскольку областью определения исходного уравнения является множество x > 0.

В результате интегрирования получаем: Интеграл в правой части вычисляется следующим образом: Следовательно, общее решение в неявной форме имеет вид: где C₁ = 2C − постоянная интегрирования.

Найдем теперь значение C₁, удовлетворяющее начальному условию y(1) = −1: Таким образом, частное решение дифференциального уравнения с заданным начальным условием (задача Коши) описывается алгебраическим уравнением:

   Пример 5

Решить дифференциальное уравнение y' cot² x + tan² y = 0. Запишем данное уравнение в следующем виде: Разделим обе части на tan y cot² x: Проверим, не потеряли ли мы какие-либо решения в результате деления. Необходимо исследовать следующие два корня: Подставляя в исходное уравнение, мы видим, что является решением уравнения.
Второе возможное решение описывается формулой Здесь мы получаем ответ: который не удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.

Теперь можно проинтегрировать дифференциальное уравнение и найти его общее решение: Окончательный ответ записывается в виде:

   Пример 6

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию y(0) = 0. Перепишем уравнение в следующем виде: Разделим обе части на 1 + e^x: Поскольку 1 + e^x > 0, то при делении мы не потеряли никаких решений. Интегрируем полученное уравнение: Теперь найдем константу C из начального условия y(0) = 0. Следовательно, окончательный ответ имеет вид:

   Пример 7

Решить уравнение . Произведение xy в каждой части не позволяет разделить переменные. Поэтому, мы сделаем замену: Соотношение для дифференциалов имеет вид: Подставляя это в уравнение, получаем: Далее, умножая обе части x, можно после соответствующих сокращений записать: Учтем, что x = 0 является решением уравнения (это можно проверить непосредственной подстановкой).

Последнее выражение можно несколько упростить: Теперь переменные x и t разделены: В результате интегрирования находим: Выполняя обратную подстановку t = xy, получаем общее решение дифференциального уравнения: Полный ответ записывается в виде:

   Пример 8

Найти общее решение дифференциального уравнения . Воспользуемся следующей подстановкой: В результате уравнение принимает вид: Следовательно, Проинтегрируем последнее уравнение: Поскольку u = x + y, то окончательный ответ в неявной форме записывается в виде: