Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Нормальная линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами n-го порядка записывается в виде где x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t) − неизвестные функции переменной t, которая часто имеет смысл времени, a_ij − заданные постоянные коэффициенты, которые могут быть как действительными, так и комплексными, f_i (t) − заданные (в общем случае комплексные) функции переменной t.

Будем считать, что все указанные функции являются непрерывными на некотором интервале [a, b] действительной числовой оси t.

Полагая систему дифференциальных уравнений можно переписать в матричной форме: Если вектор f(t) тождественно равен нулю: , то система называется однородной: Однородные системы уравнений с постоянными коэффициентами можно решать различными способами. Чаще всего используются следующие методы решений: Ниже на данной странице мы обсудим детально метод исключения. Другие способы решения систем уравнений рассматриваются отдельно на соответствующих страницах. Используя метод исключения, нормальную линейную систему n уравнений можно привести к одному линейному уравнению n-го порядка. Этот метод удобно использовать для решения простых систем − прежде всего, для систем 2-го порядка.

Рассмотрим однородную систему двух уравнений с постоянными коэффициентами: где функции x₁, x₂ зависят от переменной t.

Продифференцируем первое уравнение и подставим производную x₂' из второго уравнения: Из первого уравнения подставим a₁₂x₂. Получаем линейное однородное уравнение 2-го порядка: Его решение легко построить, если известны корни характеристического уравнения: В случае действительных коэффициентов a_ij корни могут быть как действительными (различными или кратными), так и комплексными. В частности, если коэффициенты a₁₂ и a₂₁ одного знака, то дискриминант характеристического уравнения всегда будет положительным и, соответственно, корни будут действительными и различными.

После определения функции x₁(t) другую функцию x₂(t) можно найти из первого уравнения системы.

Метод исключения можно применять не только к однородным линейным системам. Его можно использовать также для решения неоднородных систем дифференциальных уравнений или систем уравнений с переменными коэффициентами.

   Пример 1

Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения: Продифференцируем первое уравнение, затем подставим производную x₂' из второго уравнения: Из первого уравнения системы выразим 3x₂: Подставляя это в последнее уравнение, получаем: Найдем корни соответствующего характеристического уравнения: Следовательно, общее решение уравнения 2-го порядка для переменной x₁ имеет вид: где C₁, C₂ − произвольные постоянные.

Теперь вычислим производную x₁' и подставим выражения для x₁, x₁' в первое уравнение исходной системы: Чтобы оставить целочисленные коэффициенты, удобно переобозначить: C₁ → 3C₁. В результате получаем окончательное решение в следующем виде:

   Пример 2

Решить систему уравнений методом исключения: Приведем данную систему к одному уравнению 2-го порядка для функции x(t). Дифференцируя первое уравнение и подставляя y' из второго уравнения, имеем: Переменную y выразим через x и x' из первого уравнения системы: Вычислим корни характеристического уравнения: Итак, мы имеем один корень λ = 5 кратности 2. Следовательно, общее решение для функции x(t) записывается в виде: где C₁, C₂ − произвольные числа.

Найдем производную x' (t) и после подстановки в первое уравнение исходной системы определим функцию y(t): Таким образом, общее решение системы записывается как

   Пример 3

Найти общее решение системы уравнений Дифференцируя первое уравнение, получаем: Подставим производную x₂' из второго уравнения: Из первого уравнения выразим 2x₂ через x₁: Мы получили однородное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Как обычно, строим общее решение с помощью характеристического уравнения: Как видно, характеристическое уравнение имеет корни в виде пары комплексно-сопряженных чисел. Общее решение для функции x₁(t) записывается как где C₁, C₂ − произвольные постоянные.

Найдем теперь другую функцию x₂(t). Производная x₁' равна: Подставляя x₁ и x₁' в первое уравнение системы, получаем: Итак, общее решение системы имеет вид: