Метод собственных значений и собственных векторов

Рассмотрим линейную однородную систему n дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которую можно записать в матричном виде как где приняты следующие обозначения: Будем искать нетривиальные решения однородной системы в виде где V ≠ 0 − постоянный n-мерный вектор, который мы определим позже.

Подставляя указанное пробное выражение для X(t) в систему уравнений, получаем: Данное уравнение означает, что при действии линейного оператора A вектор V преобразуется в коллинеарный вектор λV. Вектор, обладающий таким свойством, называется собственным вектором линейного преобразования A, а число λ называется собственным значением.

Таким образом, мы приходим к выводу, что для того, чтобы векторная функция X(t) = [exp (λt)V] являлась решением линейной однородной системы, необходимо и достаточно, чтобы число λ было собственным значением, а вектор V − соответствующим собственным вектором линейного преобразования A.

Как видно, решение линейной системы уравнений можно построить алгебраическим методом. Поэтому приведем далее некоторые необходимые сведения из линейной алгебры. Вернемся к полученному выше матрично-векторному уравнению Его можно переписать как где 0 означает нулевой вектор.

Вспомним, что произведение единичной матрицы I порядка n и n-мерного вектора V равно самому вектору: Поэтому наше уравнение принимает вид: Из последнего соотношения следует, что определитель матрицы  A −λI  равен нулю: Действительно, если предположить, что  det (A −λI) ≠ 0, то у этой матрицы будет существовать обратная матрица  (A −λI)⁻¹ . Умножая обе части уравнения слева на обратную матрицу  (A −λI)⁻¹ , получим: Это, однако, противоречит определению собственного вектора, который должен быть отличен от нуля. Следовательно, собственные значения λ должны удовлетворять уравнению которое называется характеристическим уравнением линейного преобразования A. Многочлен в левой части уравнения называется характеристическим многочленом линейного преобразования (или линейного оператора) A. Множество всех собственных значений λ₁, λ₂, ..., λ_n образует спектр оператора A.

Итак, первый шаг в нахождении решения системы линейных дифференциальных уравнений − это решение характеристического уравнения и нахождение всех собственных значений λ₁, λ₂, ..., λ_n.

Далее, подставляя каждое собственное значение λ_i в систему уравнений и решая ее, находим собственные векторы, соответствующие данному собственному значению λ_i. Заметим, что после подстановки собственных значений система становится вырожденной, т.е. некоторые уравнения будут одинаковыми. Это следует из того, что определитель такой системы равен нулю. В результате система уравнений будет иметь бесконечное множество решений, т.е. собственные векторы можно определить с точностью до постоянного коэффициента. Раскладывая определитель характеристического уравнения n-го порядка, мы получаем в общем случае следующее уравнение: где Здесь число k_i называется алгебраической кратностью собственного значения λ_i. Для каждого такого собственного значения существует s_i линейно независимых собственных векторов. Число s_i называется геометрической кратностью собственного значения λ_i. В курсе линейной алгебры доказывается, что геометрическая кратность s_i не превосходит алгебраическую кратность k_i, т.е. выполняется соотношение Оказывается, что вид общего решения однородной системы существенно зависит от кратности собственных значений. Рассмотрим возможные случаи, которые здесь возникают. В данном простейшем случае каждому собственному значению λ_i один собственный вектор V_i. Эти векторы образуют множество линейно независимых решений т.е. фундаментальную систему решений однородной системы уравнений.

В силу линейной независимости собственных векторов соответствующий вронскиан будет отличен от нуля: Общее решение системы имеет следующий вид: где C₁, C₂, ..., C_n − произвольные числа.

Характеристическое уравнение может иметь комплексные корни. Если при этом все коэффициенты матрицы A действительны, то комплексные корни появляются всегда в виде пар комплексно-сопряженных чисел. Предположим, что мы получили пару комплексных собственных значений  λ_i = α ± βi. Данной паре комплексно-сопряженных чисел соответствует пара линейно-независимых действительных решения вида Таким образом, действительная и мнимая части комплексного решения образуют пару действительных решений. Этот случай практически не отличается от предыдущего. Несмотря на наличие собственных значений с кратностью более 1, мы можем определить n линейно независимых собственных векторов. В частности, любая симметрическая матрица с действительными числами, у которой есть n собственных чисел, будет иметь n собственных векторов. Аналогичным свойством обладают унитарные матрицы. В общем случае квадратная матрица размером n x n должна быть диагонализируемой, чтобы иметь n собственных векторов.

Общее решение системы n дифференциальных уравнений представляется в виде Здесь полное число слагаемых равно n, C_ij − произвольные числа. В некоторых матрицах A (такие матрицы называются дефектными) собственное число λ_i кратностью k_i может иметь меньше, чем k_i линейно независимых собственных векторов. В этом случае вместо недостающих собственных векторов определяются так называемые присоединенные векторы, так чтобы в результате получить множество n линейно независимых векторов и построить соответствующую фундаментальную систему решений. Для этой цели обычно применяются два способа: Детальное описание этих способов решения приводится отдельно на указанных web-страницах. Ниже мы рассмотрим примеры систем дифференциальных уравнений, соответствующие случаям 1 и 2.

   Пример 1

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Вычислим собственные значения λ_i матрицы A, составленной из коэффициентов заданных уравнений: В данном примере характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня.

Найдем собственный вектор V₁, соответствующий собственному числу λ₁ = 3. Подставляя λ₁ = 3, получаем векторно-матричное уравнение для определения V₁: Пусть собственный вектор V₁ имеет координаты V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T (здесь индекс T означает операцию транспонирования). Тогда предыдущее уравнение можно записать в виде: После перемножения матриц получаем систему двух уравнений: Оба уравнения являются линейно зависимыми. Из второго уравнения находим соотношение между координатами собственного вектора: V₁₁ = V₂₁. Полагаем V₂₁ = 1. Следовательно, V₁₁ = 1. Таким образом, собственный вектор V₁ имеет координаты V₁ = (1,1) ^T.

Аналогично определяем 2-ой собственный вектор V₂, соответствующий λ₂ = −3. Пусть V₂ = (V₂₁, V₂₂) ^T. Тогда Получаем систему двух одинаковых уравнений: Отсюда находим координаты собственного вектора V₂: Следовательно, V₂ = (−5,1) ^T.

Таким образом, система уравнений имеет два различных собственных числа и два собственных вектора. Общее решение выражается формулой где C₁, C₂ − произвольные числа.

   Пример 2

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Будем искать решение системы в виде где λ − собственное значение матрицы A, составленной из коэффициентов уравнения, а V − собственный вектор этой матрицы. Решим характеристическое уравнение: Мы получили два собственных значения в виде пары комплексно-сопряженных чисел. Найдем собственный вектор V₁ для собственного значения  λ₁ = 1 + 4i  из следующей системы уравнений: Оба уравнения являются линейно зависимыми. Из второго уравнения получаем: Итак, собственный вектор V₁ равен: Следовательно, комплексному числу  λ₁ = 1 + 4i  соответствует решение вида Преобразуем экспоненциальную функцию по формуле Эйлера: Решение X₁(t) принимает вид: или после перемножения В комплексном решении действительная и мнимая части являются линейно независимыми. Выделяя их, находим общее решение: Таким образом, общее решение системы записывается в виде где C₁, C₂ − произвольные числа.

   Пример 3

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Матрица данной системы имеет диагональный вид: Поэтому сразу можно сказать, что собственные векторы равны Построим однако решение, следуя общему алгоритму. Вычислим собственные значения матрицы A: Матрица имеет единственное собственное значение с алгебраической кратностью 2. Если подставить найденное число  λ₁ = 3  в систему уравнений для определения собственного вектора V, то получим вырожденный случай: Ясно, что для заданной матрицы A любой ненулевой вектор V будет являться собственным. Поэтому, в качестве базиса из собственных векторов удобно взять следующие два линейно независимых вектора: Заметим, что мы получили случай, когда собственное значение  λ₁ = 3  имеет одинаковую алгебраическую и геометрическую кратность k₁ = s₁ = 2, что соответствует случаю 2 по нашей классификации.

Общее решение системы уравнений записывается в виде

   Пример 4

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Вычислим собственные значения матрицы A: Раскладываем определитель по первому столбцу: Можно заметить, что одним из корней данного кубического уравнения будет число λ = 1. Тогда получаем Квадратное уравнение, в свою очередь, имеет корни λ = 2,3. Следовательно, матрица A имеет три различных действительных собственных числа: Теперь для каждого собственного числа определим собственный вектор.

Найдем вектор V₁ для числа  λ₁ = 1, решив векторно-матричное уравнение Обозначая V₁ = (V₁₁, V₂₁, V₃₁) ^T, запишем это уравнение в виде В результате имеем систему линейных алгебраических уравнений: В этой системе первое и третье уравнения одинаковы, т.е. ранг матрицы равен 2. Оставим два независимых уравнения и примем V₃₁ за свободную переменную. Получаем: Итак, собственный вектор V₁ имеет координаты: где для простоты принято t = 1.

Аналогично найдем координаты второго собственного вектора V₂, соответствующего числу  λ₂ = 2. Полагаем V₂ = (V₁₂, V₂₂, V₃₂) ^T. Тогда имеем следующую систему уравнений: Пусть V₃₂ = t. Из третьего уравнения находим: V₂₂ = V₃₂ = t. Подставляя в первое уравнение, получаем: Следовательно, собственный вектор V₂ равен: При t = 1 можно записать: V₂ = (−1,1,1) ^T.

Вычислим теперь координаты третьего собственного вектора V₃, соответствующего числу  λ₃ = 3. Обозначив V₃ = (V₁₃, V₂₃, V₃₃) ^T, получаем следующую систему уравнений: В качестве свободной переменной выберем V₃₃ = t. Из последнего уравнения выразим V₂₃: Подставляя V₂₃, V₃₃ в первое уравнение, получаем: Таким образом, собственный вектор V₃ имеет координаты Общее решение системы записывается в виде где C₁, C₂, C₃ − произвольные числа.

   Пример 5

Найти общее решение системы уравнений Начнем с определения собственных значений матрицы A: Раскладывая левую часть на множители, получаем: Видно, что характеристическое уравнение имеет один действительный и два комплексных корня (в виде пары комплексно-сопряженных чисел): Нахождение собственного вектора V₁ для собственного числа  λ₁ = 1 ничем не отличается от предыдущего примера. Координаты вектора V₁ = (V₁₁, V₂₁, V₃₁) ^T определяются из системы линейных уравнений: После перемножения получаем: Видно, что ранг системы уравнений равен 2. Поэтому мы можем выбрать одну свободную переменную, в качестве которой возьмем V₃₁ = t. Выразим остальные переменные через t: Итак первый собственный вектор имеет координаты Рассмотрим теперь пару комплексно-сопряженных корней  λ_2,3 = ± i. Для нахождения компонента общего решения, связанного с этой парой корней, достаточно взять лишь одно число, например,  λ₂ = +i  и построить для него собственный вектор V₂, который, возможно, будет иметь комплексные координаты. Далее мы сконструируем частное решение X₂ вида и выделим в нем действительную и мнимую части, которые будут представлять два линейно независимых решения. Реализуя данный план, запишем матрично-векторное уравнение для вектора V₂: Получаем систему уравнений: Преобразуем в более удобный вид первое уравнение, умножив его на : Избавимся от комплексных чисел в знаменателях коэффициентов: Тогда первое уравнение принимает вид: Снова вернемся к системе уравнений и приведем ее к треугольному виду, чтобы определить ее ранг: Преобразуем второе уравнение: Здесь коэффициент перед переменной V₃₂ равен Следовательно, второе уравнение имеет вид: Аналогичным образом преобразуем третье уравнение: Вычислим коэффициент перед V₃₂: Тогда третье уравнение записывается как т.е. оно совпадает со вторым уравнением.

Итак, ранг системы равен 2 и ее можно записать в следующей эквивалентной форме: В качестве свободной переменной примем V₃₂ = t. Выразим через t последовательно другие переменные V₂₂ и V₁₂: Таким образом, мы определили собственный вектор V₂ с комплексными координатами: Сконструируем теперь решение X₂ на основе собственного значения λ₂ и собственного вектора V₂ и разложим его на действительную и мнимую компоненты. Представим exp (it) по формуле Эйлера: Следовательно, Вычисленные действительные и мнимые части комплексного векторного решения X₂ являются линейно независимыми. С учетом первого компонента X₁, соответствующего собственному числу λ₁, можно записать общее действительное решение системы в виде где C₁, C₂, C₃ − произвольные числа.

   Пример 6

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Определим собственные значения заданной матрицы: Можно заметить, что данное кубическое уравнение имеет корень  λ = 1. Выделяя одночлен (λ − 1), получаем: Корни квадратного уравнения равны:  λ = 1, 4. Таким образом, характеристическое уравнение представляется в виде Исходная матрица системы является симметрической. Поэтому она будет иметь три собственных вектора. Это означает, что у корня  λ = 1 алгебраическая и геометрическая кратность одинаковы (и равны 2).

Определим собственные векторы, соответствующие числу  λ_1,2 = 1. Они находятся из системы уравнений Видно, что все три уравнения одинаковы. Оставляем одно уравнение и, выбирая в качестве свободных переменных  V₂₁ = u  и  V₃₁ = v, получаем: Отсюда следует, что координаты первого собственного вектора (при u = 1, v = 0) равны: V₁ = (−1,1,0) ^T.

Соответственно, координаты второго линейно независимого собственного вектора (при u = 0, v = 1) составляют: V₂ = (−1,0,1) ^T.

Теперь определим третий собственный вектор V₃, соответствующий числу  λ₃ = 4: Здесь выбираем в качестве свободной переменную  V₃₃ = t. Другие две координаты равны Следовательно, собственный вектор V₃ имеет следующие координаты: Общее решение системы дифференциальных уравнений выражается формулой где C₁, C₂, C₃ − произвольные числа.