Построение общего решения системы уравнений методом неопределенных коэффициентов

Линейная однородная система n дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид: Здесь X(t) − n-мерный вектор, A − квадратная матрица с постоянными коэффициентами размера n x n.

Далее мы опишем общий алгоритм решения данной системы и рассмотрим конкретные случаи, где решение строится методом неопределенных коэффициентов.

Будем искать решение заданной системы уравнений в виде вектор-функций где λ − собственное значение матрицы A, а V − собственный вектор этой матрицы.

Собственные значения λ_i находятся из характеристического уравнения где I − единичная матрица.

Поскольку корни λ_i могут быть кратными, то в общем случае для системы n-го порядка это уравнение имеет вид: Здесь выполняется условие Степень k_i множителя (λ − λ_i) называется алгебраической кратностью собственного числа λ_i.

Для каждого собственного значения λ_i можно определить собственный вектор (или несколько собственных векторов в случае кратного λ_i), используя формулу Число собственных векторов, ассоциированных с собственным значением λ_i, называется геометрической кратностью λ_i (обозначим ее как s_i). Таким образом, собственное число λ_i характеризуется двумя величинами − алгебраической кратностью k_i и геометрической кратностью s_i. Справедливо следующее соотношение: т.е. геометрическая кратность s_i (или число собственных векторов) не превосходит алгебраическую кратность k_i собственного числа λ_i.

Фундаментальная система решений и, соответственно, общее решение системы существенно зависят от алгебраической и геометрической кратности чисел λ_i. В простейшем случае s_i = k_i = 1, когда собственные значения λ_i матрицы A попарно различны и каждому числу λ_i соответствует собственный вектор V_i, фундаментальная система решений состоит из функций вида В этом случае общее решение записывается как где C_i − произвольные константы.

Обсудим случай комплексных корней характеристического уравнения. Если все коэффициенты в уравнениях являются действительными числами, то комплексные корни будут "рождаться" парами в виде комплексно-сопряженных чисел α ± iβ. Для построения компонента решения, связанного с такой парой, достаточно взять одно число, например, α + iβ и определить для него собственный вектор V, который также может иметь комплексные координаты. Тогда решение будет представляться комплекснозначной векторной функцией [exp(α + iβ)t]V(t). Экспоненциальную функцию можно разложить по формуле Эйлера: В результате часть общего решения, соответствующая паре собственных значений α ± iβ, будет представляться в виде где V = V_RE + iV_IM − комплекснозначный собственный вектор. В полученном выражении вектор-функции X ⁽¹⁾ и X ⁽²⁾ в действительной и мнимой части образуют два линейно-независимых действительных решения.

Как видно, решение для пары комплексно-сопряженных собственных значений строится таким же образом, как и для действительных собственных значений. В конце преобразований нужно лишь явно выделить действительную и мнимую части векторной функции.

Теперь рассмотрим случай кратных корней λ_i. Для простоты будем считать их действительными. Здесь процесс решения снова разветвляется на два сценария.

Если алгебраическая кратность k_i и геометрическая кратность s_i собственного числа λ_i совпадают (k_i = s_i > 1), то для этого значения λ_i существует k_i собственных векторов. В результате собственному числу λ_i будет соответствовать k_i линейно-независимых решений вида Всего в этом случае система n уравнений будет иметь n собственных векторов, образующих фундаментальную систему решений. Примеры таких систем приведены на странице Метод собственных значений и собственных векторов.

Наиболее интересным является случай кратных корней λ_i, когда геометрическая кратность s_i меньше алгебраической кратности k_i. Это значит, что у нас имеется только s_i (s_i < k_i) собственных векторов, ассоциированных с числом λ_i. Число собственных векторов s_i определяется формулой где  rank (A −λ_iI)  означает ранг матрицы  A −λ_iI , в которую подставлено значение λ_i.

Решение, соответствующее λ_i, можно искать в виде произведения многочлена степени k_i − s_i на экспоненциальную функцию exp (λ_it): Здесь P_ki−si (t) является векторным многочленом, т.е. каждой из n координат соответствует свой многочлен степени k_i − s_i с некоторыми коэффициентами, подлежащими определению.

Собственно говоря, метод неопределенных коэффициентов нужен только в случае кратных корней λ_i, когда число линейно-независимых собственных векторов меньше алгебраической кратности корня λ_i.

Чтобы найти векторы A₀, A₁, ..., A_ki−si для каждого такого собственного числа λ_i, надо подставить вектор-функцию X_i (t) в исходную систему уравнений. Приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями в левой и правой частях каждого уравнения, получим алгебраическую систему уравнений для нахождения неизвестных векторов A₀, A₁, ..., A_ki−si.

Описанный здесь способ построения общего решения системы однородных дифференциальных уравнений иногда называют также методом Эйлера.

   Пример 1

Найти общее решение линейной системы уравнений Вычислим собственные значения λ_i матрицы A, составленной из коэффициентов данных уравнений: Следовательно, матрица A имеет одно собственное число λ₁ = 2 кратностью k₁ = 2. Найдем ранг матрицы  A −λ₁I . Подставляя в матрицу A значение λ₁ = 2 и выполняя элементарные преобразования, получаем: Итак, ранг матрицы  A −λ₁I  равен 1. Тогда для числа λ₁ = 2 получаем геометрическую кратность s₁ = 1, т.е. мы имеем один собственный вектор: Общее векторное решение будет выражаться формулой Воспользуемся далее методом неопределенных коэффициентов. Пусть Производные будут равны Подставляем функции x, y и их производные в исходную систему дифференциальных уравнений: Сокращая на exp (2t) и приравнивая коэффициенты при членах t с одинаковыми степенями в левой и правой части, получаем систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов a₀, a₁, b₀, b₁: В этой системе независимыми являются только два уравнения. Выберем в качестве свободных коэффициенты a₀ = C₁ и a₁ = C₂. Остальные два числа b₀ и b₁ выразим через C₁ и C₂: Таким образом, общее решение системы записывается в виде Его удобно переписать в векторной форме:

   Пример 2

Найти общее решение системы уравнений Сначала определим собственные числа матрицы данной системы, решив соответствующее характеристическое уравнение: Раскладываем определитель по третьей строке: Заметим, что одним из корней кубического уравнения является число λ = 1. Выделяя сомножитель (λ − 1), получаем: Таким образом, матрица системы уравнений имеет два собственных значения: λ₁ = 1 кратностью 1 и λ₂ = 3 кратностью 2.

Рассмотрим первый корень λ₁ = 1 и определим компонент общего решения X₁, ассоциированный с этим числом. Для этого вычислим соответствующий собственный вектор V₁. Запишем систему уравнений для определения координат вектора V₁: Упростим полученную систему: Выберем в качестве свободной переменной V₃₁ = t. Остальные координаты выражаются через t следующим образом: Следовательно, собственный вектор V₁ равен: Таким образом, собственное число λ₁ = 1 вносит следующий вклад в общее решение: Теперь рассмотрим собственное число λ₂ = 3 с алгебраической кратностью k₂ = 2. Выясним ранг матрицы после подстановки в нее значения λ₂ = 3: Как видно, rank (A −λ₂I) = 2. Следовательно, число λ₂ = 3 характеризуется геометрической кратностью s₂ = 1 и имеет один собственный вектор: Будем искать решение, связанное с собственным значением λ₂, в виде функции где векторный многочлен P_k2−s2(t) имеет степень k₂ − s₂ = 1. Полагая запишем формулы для каждой координаты X₂: Производные этих функций равны: Подставляя данные выражения в исходную систему и сокращая на множитель exp (3t), имеем: Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой части, получаем систему 6 уравнений с неизвестными a₀, a₁, b₀, b₁, d₀, d₁: В этой системе уравнений лишь два коэффициента являются независимыми. Это следует из того, собственное число λ₂ = 3 имеет алгебраическую кратность 2 и, поэтому, должно иметь два линейно-независимых решения. Выберем в качестве свободных переменных a₀ и a₁, обозначив где C₂, C₃ − произвольные числа, а множитель 2 введен, чтобы избавиться от дробей. Остальные коэффициенты легко выражаются через C₂ и C₃ и представляются в виде: Тогда часть общего решения, обусловленная собственным числом λ₂ = 3, записывается как Перепишем это решение в векторной форме: Объединяя вместе все найденные компоненты, получим общее решение исходной системы в виде:

   Пример 3

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений Начнем с вычисления собственных значений матрицы данной системы. Решаем характеристическое уравнение: Раскладываем определитель по первой строке: Итак, матрица имеет одно собственное значение λ₁ = −1 с алгебраической кратностью k₁ = 3. Найдем ранг матрицы при λ₁ = −1 и геометрическую кратность s₁: Следовательно, rank (A −λ₁I) = 2. Соответственно, геометрическая кратность (а также количество собственных векторов) для собственного числа λ₁ = −1 составляет С учетом этого, общее решение X будем искать в виде векторной функции Пусть векторы A₀, A₁, A₂ имеют координаты Запишем координатные функции и найдем их производные: Подставляя в исходную систему и сокращая обе части каждого уравнения на экспоненциальную функцию exp (−t), получаем: Приравнивая члены при одинаковых степенях t слева и справа, получаем систему 9 уравнений: В этой системе содержится лишь три независимых переменных. Это следует из того, что общее решение X должно содержать 3 линейно-независимых функции. Выберем в качестве независимых переменных Остальные переменные выразим через C₁, C₂, C₃: Итак, общее решение можно записать в виде Представим это решение в векторной форме, выделив явно линейно независимые векторы: Перенормируем числа C₁, C₂, C₃, чтобы избавиться от дробных координат: Тогда ответ записывается в виде: Заметим, что общее решение содержит 3 линейно независимых вектора: Остальные векторы будут коллинеарны указанным. Среди этих трех векторов вектор V₁ является собственным, а векторы V₂, V₃ называются присоединенными. При этом форма общего решения определяется структурой т.н. жордановой матрицы для данной системы. Более подробно эта техника рассматривается на странице Построение общего решения системы уравнений с помощью жордановой формы