Производные высшего порядка

Пусть функция y = f(x) имеет конечную производную f '(x) в некотором интервале (a, b), т.е. производная f '(x) также является функцией в этом интервале. Если эта функция дифференцируема, то мы можем найти вторую производную исходной функции f, которая обозначается в виде Аналогично, если f ''  существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f: Производные более высокого порядка (если они существуют) определяются как Таким образом, понятие производной n-го порядка вводится индуктивно путем последовательного вычисления n производных, начиная с производной первого порядка. Переход к производной следующего, более высокого порядка производится с помощью рекуррентной формулы В ряде случаев можно вывести общую формулу для производной произвольного n-го порядка без вычисления промежуточных производных. Некоторые такие примеры рассмотрены ниже.

Отметим, что для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие линейные соотношения: Производная n-го порядка неявно заданной функции находится последовательным (n раз) дифференцированием уравнения F(x, y) = 0. На каждом шаге, после соответствующих подстановок и преобразований, можно получить явное выражение для производной, зависящее лишь от переменных x, y, т.е. производные имеют вид Рассмотрим функцию y = f(x), заданную параметрически с помощью двух уравнений Первая производная данной функции выражается формулой Дифференцируя еще раз по x, находим производную второго порядка: Аналогично определяются производные третьего и более высокого порядка:

   Пример 1

Найти y'', если  y(x) = x ln x. Вычислим первую производную, дифференцируя функцию как произведение: Теперь найдем производную второго порядка:

   Пример 2

Найти вторую производную функции . Сначала вычислим первую производную: Дифференцируем еще раз:

   Пример 3

Вычислить y'' для параболы  y² = 4x. Дифференцируя как неявную функцию, имеем Дифференцируя еще раз и используя формулу для производной произведения, получаем Умножим обе части на y ² : Поскольку yy' = 2, и следовательно, (yy' )² = 4, то последнее уравнение записывается в виде: Отсюда следует, что

   Пример 4

Дана функция y = (2x + 1)³(x − 1). Найти все производные n-го порядка с n = 1 до n = 5. Преобразуем сначала заданную функцию в многочлен: Теперь последовательно вычислим производные с 1-го до 5-го порядка:

   Пример 5

Найти производную n-го порядка функции натурального логарифма  y = ln x. Вычислим несколько последовательных производных заданной функции: Отсюда видно, что производная произвольного n-го порядка выражается формулой Строгое обоснование этой формулы можно получить, используя метод математической индукции.

   Пример 6

Определить все производные синуса. Вычислим несколько первых производных: Очевидно, что производная n-го порядка выражается формулой Строгое доказательство этой формулы можно выполнить методом математической индукции.

   Пример 7

Определить все производные косинуса. Аналогично примеру 6, найдем последовательно несколько первых производных функции косинус: Ясно, что следующая производная 5-го порядка совпадает с первой производной, 6-ая − со 2-ой и так далее. Таким образом, производная n-го порядка функции косинус описывается формулой

   Пример 8

Найти все производные функции . Найдем сначала несколько первых производных. Этого достаточно, чтобы обнаружить общий "паттерн":

   Пример 9

Найти вторую производную функции . Дифференцируя как сложную функцию, найдем первую производную: Представим здесь |x| как  x sign x, где Тогда Вычислим теперь вторую производную, дифференцируя предыдущее выражение как частное двух функций:

   Пример 10

Найти третью производную функции . Дифференцируем последовательно заданную функцию:

   Пример 11

Найти вторую производную неявно заданной функции  x² + y² = R² (каноническое уравнение окружности). Учитывая, что y − функция переменной x и дифференцируя обе части уравнения, находим первую производную: Продифференцируем полученное выражение еще раз: Подставляя в последнюю формулу первую производную y', имеем:

   Пример 12

Найти производную n-го порядка функции y = 3^2x+1. Вычислим последовательно несколько производных, начиная с производной первого порядка. Отсюда следует, что производная n-го порядка выражается формулой Строгое доказательство можно провести методом математической индукции. Очевидно, что данная формула справедлива при n = 1. Предположим, что она верна при n = k : Тогда при n = k + 1 имеем: т.е. формула справедлива и при n = k + 1. Следовательно, она верна для любого натурального числа n.

   Пример 13

Найти производную n-го порядка степенной функции y = x^m, где m − действительное число. Вычислим последовательно несколько первых производных: Отсюда легко установить общее выражение для производной n-го порядка: Докажем это методом математической индукции. Очевидно, что данная формула справедлива для n = 1. Полагая, что она верна для степени n, продифференцируем ее еще раз и найдем производную (n + 1)-го порядка: Как видно, производная (n + 1)-го порядка выражается такой же формулой, как и производная n-го порядка (только число n заменяется числом n + 1). Следовательно, полученное выражение справедливо для любого натурального значения n (n − порядок производной).

Заметим, что показатель степени m, вообще говоря, является действительным числом. Если рассматривать лишь натуральные значения m, то формулу для производной можно записать в более компактном виде: где n ≤ m. Все остальные производные порядка n > m будут равны нулю.

   Пример 14

Найти производную n-го порядка от квадратного корня  y = √x. Воспользуемся результатом примера 13, где выведена производная n-го порядка степенной функции с произвольным действительным показателем m. В данном случае имеем Тогда производная записывается в виде При n = 1 производная равна При условии n ≥ 2 произведение нечетных чисел в квадратных скобках можно записать через двойной факториал: Следовательно, при n ≥ 2 производная n-го порядка выражается общей формулой В частности,

   Пример 15

Найти производную n-го порядка от кубического корня . Первая производная кубического корня выражается формулой Далее используем общую формулу для производной n-го порядка степенной функции y = x^m (пример 13): В нашем случае m = 1/3. Следовательно, производная имеет такой вид: где n ≥ 2. В частности, вторая и третья производные кубического корня выражаются формулами

   Пример 16

Найти первую и вторую производные по переменной x от функции, заданной параметрически: Вычислим первую производную y'_x по формуле: Следовательно, Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную по x: Вычислим отдельно производную в числителе: Поскольку производная в знаменателе равна то получаем следующее выражение для второй производной исходной функции:

   Пример 17

Дано уравнение эллипса в параметрической форме: где a, b − полуоси эллипса, t − параметр. Найти первую, вторую и третью производные от функции y по переменной x. Дифференцируя последовательно заданную параметрическую функцию, получаем:

   Пример 18

Найти третью производную функции, заданной уравнением  x² + 3xy + y² = 1. Однократное дифференцирование по переменной x приводит к следующему выражению: Продифференцируем последнюю формулу еще раз, рассматривая y как сложную функцию: Подставим полученное ранее явное выражение для первой производной y': Поскольку  x² + 3xy + y² = 1, то получаем следующее выражение для второй производной y'': Аналогично, дифференцируя еще раз, найдем третью производную: Снова подставляем первую производную и находим:

   Пример 19

Найти вторую производную функции, заданной уравнением  x + y = e ^{x − y}. Дифференцируя обе части по x, получаем: Продолжая дифференцирование, находим вторую производную: Подставляем выражение для первой производной: Теперь учтем исходное уравнение, согласно которому В результате получаем следующее выражение для производной y'':

   Пример 20

Кривая описывается неявным уравнением  xy = 2x³ − y² и проходит через точку (1, 1). Найти первую и вторую производные в данной точке. Вычислим первую производную: Дифференцируя еще раз, находим значение второй производной в заданной точке: Подставляем известные значения x, y, y':