Факториалом числа n называется произведение всех натуральных чисел, меньше или равныx n. Факториал обозначается n!
n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (n − 1) ⋅ n

Факториал нуля по определению равен 1.
0! = 1

Значения факториалов чисел от 1 до 10

Рекуррентное соотношение
(n + 1)! = n! ⋅ (n + 1)

Обобщение факториала для неотрицательных действительных чисел
Факториал числа x выражается через гамма-функцию по формуле
x! = Г(x + 1),
которая позволяет вычислить факториал для любых действительных чисел x ≥ 0.

Скорость возрастания
Факториал возрастает быстрее, чем экспоненциальная функция. Неравенство n! > exp(n) выполняется при всех n ≥ 6. При n ≥ 1 справедливо соотношение
n ≤ n! ≤ nⁿ

Формула Стирлинга
При больших n значение факториала можно определить с помощью асимптотической формулы Стирлинга:

Данная формула с учетом лишь первого члена в разложении принимает вид
n! ≈ nⁿ √2πn exp(−n).

Двойной факториал
Двойной факториал представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до n той же самой четности, что и число n. Двойной факториал обозначается как n!!
(2k)!! = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ (2k − 2) ⋅ 2k
(2k + 1)!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2k − 1) ⋅ (2k + 1)