Окружностью называется замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от заданной точки (центра окружности). Расстояние от любой точки окружности P(x, y) до ее центра называется радиусом. Центр окружности и сама окружность лежат в одной и той же плоскости. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат (каноническое уравнение окружности) имеет вид
x² + y² = R².

Уравнение окружности радиуса R с центром в произвольной точке A(a, b) записывается как
(x − a)² + (y − b)² = R².

Уравнение окружности, проходящей через три точки, записывается в виде:

Здесь A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) − три точки, лежащие на окружности.

Уравнение окружности в параметрической форме

где x, y − координаты точек окружности, R − радиус окружности, t − параметр.

Общее уравнение окружности
Ax² + Ay² + Dx + Ey + F = 0
при условии A ≠ 0, D² + E² > 4AF.
Центр окружности расположен в точке с координатами (a, b), где

Радиус окружности равен

Эллипсом называется плоская кривая, для каждой точки которой сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов эллипса) постоянна. Расстояние между фокусами называется фокусным расстоянием и обозначается через 2c. Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса. У эллипса есть две оси симметрии: первая или фокальная ось, проходящая через фокусы, и перпендикулярная ей вторая ось. Точки пересечения этих осей с эллипсом называются вершинами. Отрезок, соединяющий центр эллипса с вершиной, называется полуосью эллипса. Большая полуось обозначается через a, малая полуось − через b. Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением:

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна:
r₁ + r₂ = 2a,
где r₁, r₂ − расстояния от произвольной точки P(x, y) до фокусов F₁ и F₂, a − большая полуось эллипса.

Соотношение между полуосями эллипса и фокусным расстоянием
a² = b² + c²,
где a − большая полуось эллипса, b − малая полуось, c − половина фокусного расстояния.

Эксцентриситет эллипса
e = c/a < 1

Уравнения директрис эллипса
Директрисой эллипса называется прямая, перпендикулярная его фокальной оси и пересекающая ее на расстоянии a/e от центра. Эллипс имеет две директрисы, отстоящие по разные стороны от центра. Уравнения директрис записываются в виде

Уравнение эллипса в параметрической форме

где a, b − полуоси эллипса, t − параметр.

Общее уравнение эллипса
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
где B² − 4AC < 0.

Общее уравнение эллипса, полуоси которого параллельны осям координат
Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0,
где AC > 0.

Периметр эллипса
L = 4aE(e),
где a − большая полуось эллипса, e − эксцентриситет, E − полный эллиптический интеграл второго рода.

Приближенные формулы для периметра эллипса

где a, b − полуоси эллипса.

Площадь эллипса
S = πab