Динамика цен и запасов

С помощью систем дифференциальных уравнений можно описывать реальные экономические процессы. Рассмотрим для примера одну из возможных моделей, в которой цены, объем продаж и запасы товара на складе определенным образом зависят друг от друга и могут изменяться во времени. В условиях эластичного рынка объем продаж зависит от цены товара или услуги. Такую зависимость можно представить, например, в виде где S − объем продаж за единицу времени, P − текущая цена, P^* − некоторая равновесная цена, близкая к среднерыночной, β − коэффициент пропорциональности. Здесь функция S(t) имеет смысл текущей скорости продажи. То есть, объем продаж товара за промежуток времени Δt будет равен S(t)Δt. Размерность коэффициента β зависит от единиц S и P. Если рассматривать S и P как безразмерные величины, а время t измерять в днях, то размерность β будет составлять [1/день].

Данное дифференциальное уравнение "работает" следующим образом. Изменение скорости продажи dS/dt зависит от величины отклонения текущей цены P от равновесного значения P^*. Пусть коэффициент β отрицателен: β < 0. Тогда в интервале значений P < P^* при понижении цены скорость продажи будет возрастать, и наоборот. Такая агрессивная маркетинговая стратегия часто применяется, например, в сезон распродаж (рисунок 1). При реализации описанного подхода бизнес может преследовать еще одну цель − поддерживать уровень запасов товара на некотором достаточно низком уровне I ^* с помощью изменения цены товара. Такой режим управления можно описать похожим дифференциальным уравнением где α − коэффициент пропорциональности, который является отрицательным. В этом случае при дефиците товара на складе (при I < I ^*) цена будет возрастать, а при его избытке (I > I ^*) − уменьшаться. Размерность коэффициента α, также как и коэффициента β, составляет [1/день].

К записанным уравнениям необходимо добавить еще одно уравнение, описывающее баланс товаров на складе: где Q − скорость поступления товаров от производителя или поставщика, S − уже рассмотренная выше скорость продажи товара.

В результате мы получаем систему 3 дифференциальных уравнений: Построим далее ее общее решение и исследуем поведение функций I(t), P(t), S(t). Записанная система относится к классу линейных неоднородных систем с постоянными коэффициентами. Ее можно записать в матричной форме: где Построим сначала решение однородной системы. Найдем собственные значения матрицы A: Как видно, характеристическое уравнение имеет один корень с алгебраической кратностью k = 3. Вычислим ранг матрицы (A − λ₁I): Ранг равен 2. Тогда геометрическая кратность будет равна Такой матрице соответствует жорданова клетка размером 3 x 3 (случай 8 на странице Построение общего решения системы уравнений с помощью жордановой формы), т.е. матрица A будет иметь один собственный вектор и два присоединенных вектора.

Для построения общего решения мы воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Будем искать решение в виде где M_k−s(t) − векторный многочлен, который в нашем случае является квадратичной функцией: Определим значения коэффициентов в векторном многочлене. Пусть векторы A₀, A₁, A₂ имеют координаты: Найдем производные: Подставляя функции I(t), P(t), S(t) и их производные в исходную однородную систему и сокращая на exp (λ₁t), получаем: Пусть a₀ = C₁, a₁ = C₂, a₂ = C₃. Выразим остальные коэффициенты через C₁, C₂, C₃, учитывая, что собственное значение равно : В результате получаем решение однородной системы в виде или в векторной записи: Выполним некоторые упрощения. Каждое слагаемое умножим на , при этом параметр β внесем в координаты каждого вектора: Переобозначим произвольные коэффициенты C₁, C₂, C₃ следующим образом: Тогда решение принимает вид: Заметим, что полученное выражение содержит 3 линейно независимых вектора. Обозначив , запишем общее решение как Теперь построим частное решение неоднородной системы. Учитывая, что правая часть системы состоит из констант: будем искать частное решение также в виде постоянных чисел: Подставляем вместо I, P, S постоянные числа I₁, P₁, S₁: Получаем частное решение в виде Таким образом, мы построили общее решение исходной неоднородной системы, которое записывается как Полученные выше формулы описывают поведение функций I(t), P(t), S(t) в зависимости от параметров задачи. Наша модель содержит пять параметров α, β, I ^*, P^*, q и три начальных значения переменных, которые обозначим как I₀, P₀, S₀.

Далее рассмотрим случай, когда α = β = −1. Тогда общее решение принимает такой вид: или Константы C₁, C₂, C₃ определяются из начальных условий. В общем случае будем считать, что Отсюда выразим постоянные C₁, C₂, C₃: Итак, решение для описанного случая выражается формулой Выше на рисунке 2 показаны типичные графики изменения запасов товара I(t), цены P(t) и объема продаж S(t). Данные кривые соответствуют следующей комбинации параметров: α = β = 1, I ^* = 100, P^* = 60, q = 20, I₀ = 150, P₀ = 100, S₀ = 10.

Из графиков видно, что после определенного переходного процесса все динамические величины приближаются к своим асимптотическим значениям, которые зависят от неоднородного компонента F. Поскольку собственное значение λ отрицательно, то нулевое решение однородной системы является асимптотически устойчивым. Это приводит к тому, что однородная часть решения с течением времени "затухает", и функции I(t), P(t), S(t) будут стремиться к асимптотическим значениям независимо от начальных условий. Таким образом, в рамках данной модели оказывается возможным поддерживать уровень запасов товара на определенном наперед заданном уровне, используя гибкий механизм изменения цены.