Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Нормальную линейную неоднородную систему n уравнений с постоянными коэффициентами можно записать в виде где t − независимая переменная (часто t означает время), x_i (t) − неизвестные функции, которые являются непрерывными и дифференцируемыми на некотором интервале [a, b] действительной числовой оси t, a_ij (i, j = 1,...,n) − постоянные коэффициенты, f_i (t) − заданные функции переменной t, непрерывные на [a, b]. Будем считать, что функции x_i (t), f_i (t) и коэффициенты a_ij могут принимать как действительные, так и комплексные значения.

Введем следующие векторы: и квадратную матрицу Тогда систему уравнений можно представить в более компактной матричной форме: Для линейных неоднородных систем, также как и в случае одного линейного неоднородного уравнения, справедлива следующая важная теорема:

Общее решение X(t) неоднородной системы представляет собой сумму общего решения X₀(t) соответствующей однородной системы и частного решения X₁(t) неоднородной системы: Методы построения решения однородной системы рассмотрены нами на других web-страницах этого раздела. Поэтому ниже мы акцентируем основное внимание на том, как найти частное решение.

Еще одним важным свойством линейных неоднородных систем является принцип суперпозиции, который формулируется следующим образом:

Если X₁(t) − решение системы с неоднородной частью f₁(t), а X₂(t) − решение такой же системы с неоднородной частью f₂(t), то векторная функция будет являться решением системы с неоднородной частью Наиболее распространенными способами решения неоднородных систем являются метод исключения, метод неопределенных коэффициентов (в случае, когда функция f(t) является векторным квазимногочленом) и метод вариации постоянных. Рассмотрим указанные методы решения более подробно. Данный метод позволяет свести нормальную неоднородную систему n уравнений к одному уравнению n-го порядка. Этот способ удобно использовать для решения систем 2-го порядка. Метод неопределенных коэффициентов хорошо подходит для решения систем уравнений, неоднородная часть которых представляет собой квазимногочлен.

Действительным векторным квазимногочленом называется вектор-функция вида где α, β − заданные действительные числа, а P_m(t), Q_m(t) − векторные многочлены степени m. Например, векторный многочлен P_m(t) записывается как где A₀, A₁, ..., A_m − n-мерные векторы (n − число уравнений в системе).

В случае, когда неоднородная часть f(t) является векторным квазимногочленом, то частное решение также будет представляться некоторым векторным квазимногочленом, похожим по структуре на f(t).

Так, например, если неоднородная функция равна то частное решение системы следует искать в виде где k = 0 в нерезонансном случае, т.е. когда показатель α в экспоненциальной функции не совпадает ни с одним из собственных значений λ_i. Если же показатель α совпадает с каким-либо собственным значением λ_i, т.е. в так называемом резонансном случае, то значение k полагается равным длине жордановой цепочки для данного собственного числа λ_i. На практике в качестве k можно брать алгебраическую кратность собственного значения λ_i.

Аналогичные правила определения степени многочленов применяются и для квазимногочленов вида Здесь резонансный случай возникает, если число α + βi совпадает с комплексным собственным значением λ_i матрицы A.

После выбора структуры частного решения X₁(t) неизвестные векторные коэффициенты A₀, A₁, ..., A_m, ..., A_m+k устанавливаются путем подстановки выражения для X₁(t) в исходную систему и приравнивания коэффициентов при членах с одинаковыми степенями t в левой и правой части каждого уравнения. В случае произвольной правой части f(t) общим методом решения является метод вариации постоянных (метод Лагранжа).

Пусть общее решение однородной системы найдено и представляется в виде где Φ(t) − фундаментальная система решений, т.е. матрица размером n x n, столбцы которой образованы линейно независимыми решениями однородной системы, С = (C₁, C₂, ..., C_n) ^T − вектор произвольных постоянных чисел С_i (i = 1,...,n).

Заменим постоянные числа C_i на неизвестные функции С_i (t) и подставим функцию X(t) = Φ(t)C(t) в неоднородную систему уравнений: Поскольку вронскиан системы не равен нулю, то существует обратная матрица Φ ⁻¹(t). Умножая последнее уравнение слева на Φ ⁻¹(t), получаем: где C₀ − произвольный постоянный вектор.

Тогда общее решение неоднородной системы можно записать как Отсюда видно, что частное решение неоднородного уравнения представляется формулой Таким образом, решение неоднородного уравнения выражается в квадратурах для любой неоднородной части f(t). Во многих задачах соответствующие интегралы можно вычислить аналитически. Это позволяет выразить решение неоднородной системы в явном виде.

   Пример 1

Решить систему уравнений методом исключения. Продифференцируем первое уравнение и подставим в него производную y' из второго уравнения: Из первого уравнения системы выразим 2y и подставим в последнее уравнение: Мы получили линейное неоднородное уравнение 2-го порядка для функции x(t).

Решаем сначала однородное уравнение Корни характеристического уравнения равны Тогда решение однородного уравнения для x(t) имеет вид: где C₁, C₂ − произвольные числа.

Учитывая вид неоднородной части в уравнении для x(t), будем искать частное решение x₁(t) в виде Подставляя это пробное решение в неоднородное уравнение, определим коэффициент A: Итак, частное решение x₁(t) выражается формулой Соответственно, общее решение для функции x(t) записывается как Остается найти функцию y(t). Вычислим производную x'(t) и подставим ее в первое уравнение исходной системы: Окончательный ответ записывается в следующем виде:

   Пример 2

Решить систему уравнений методом неопределенных коэффициентов: Запишем данную систему в матричной форме: Найдем сначала решение однородной системы. Вычислим собственные значения матрицы A: Определим собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T для числа λ₁ = 2: Видно, что V₂₁ = 0, а координата V₁₁ может быть произвольной. Для простоты выбираем V₁₁ = 1. Следовательно, V₁ = (1, 0) ^T.

Аналогично найдем собственный вектор V₂ = (V₁₂, V₂₂) ^T, соответствующий числу λ₂ = 3: Полагая V₂₂ = t, имеем: V₁₂ = V₂₂ = t. Тогда Таким образом, общее решение однородной системы выражается формулой Теперь найдем частное решение X₁(t). Правая часть имеет вид квазимногочлена P₁(t) exp(t). Степень показательной функции равна α = 1. Поскольку она не совпадает ни с одним из собственных значений λ₁ = 2, λ₂ = 3, то частное решение будем искать в виде, аналогичном f(t), т.е. полагаем Неизвестные векторы A₀, A₁ найдем методом неопределенных коэффициентов. Пусть Следовательно, частное решение можно записать как Подставляем X₁(t) в исходное неоднородное уравнение: В каждом уравнении обе части сокращаем на exp(t): Приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями t, получаем следующую систему уравнений: Решаем эту систему и находим неизвестные коэффициенты a₀, a₁, b₀, b₁: Таким образом, частное решение X₁(t) записывается в виде: Тогда общее решение исходной неоднородной системы выражается следующей формулой:

   Пример 3

Решить систему уравнений методом неопределенных коэффициентов: Вычислим собственные значения λ_i матрицы A и построим общее решение однородной системы: Таким образом, здесь мы имеем одно собственное значение λ₁ = 1 кратностью k₁ = 2. Найдем собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T для λ₁ = 1: Ясно, что V₁₁ = 0, а координата V₂₁ может быть произвольной. Полагая V₂₁ = 1, получаем V₁ = (0, 1) ^T.

Второй линейно независимый вектор V₂ = (V₁₂, V₂₂) ^T вычислим как присоединенный к V₁: Здесь V₁₂ = 1, а V₂₂ можно выбрать произвольно, например, V₂₂ = 0. Тогда V₂ = (1, 0) ^T.

Общее решение однородной системы будет выражаться формулой где C₁, C₂ − произвольные постоянные.

Как видно, длина жордановой цепочки для λ₁ = 1 равна 2.

Теперь перейдем к определению частного решения X₁(t) неоднородного уравнения. Неоднородные члены в каждом уравнении содержат экспоненциальные функции exp (t), которые совпадают с экспоненциальной функцией в решении однородного уравнения. Это значит, что мы имеем резонансный случай.

Следовательно, частное решение X₁(t) следует искать в виде векторного квазимногочлена где m = 0 (m означает степень векторного многочлена неоднородной части f(t)) и k = 2 (k − длина жордановой цепочки для резонансного собственного числа λ₁ = 1),

Итак, в данном случае нужно выбрать многочлен второй степени: Векторные коэффициенты A₀, A₁, A₂ определим прямой подстановкой функции X₁(t) в неоднородную систему. Пусть Тогда Производная равна После подстановки в исходную систему получаем: Сокращая обе части каждого уравнения на exp (t) и приравнивая коэффициенты при членах с одинаковыми степенями t, получаем следующую систему для определения неизвестных коэффициентов: Здесь независимыми являются лишь 4 уравнения. Числа a₀ и b₀ можно выбрать произвольными, например, a₀ = 0, b₀ = 0. В результате коэффициенты имеют такие значения: Итак, частное решение X₁(t) выражается формулой Окончательно общее решение неоднородной системы записывается в виде:

   Пример 4

Решить систему линейных дифференциальных уравнений методом неопределенных коэффициентов: Построим сначала общее решение однородной системы. Собственные значения матрицы A равны: В данном случае мы имеем пару комплексно-сопряженных собственных значений кратностью 1. В соответствии с общей теорией, найдем комплексное решение, например, для числа λ₁ = +i и выделим в нем действительную и мнимую части, которые составят фундаментальную систему решений.

Вычислим собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T для числа λ₁ = +i: Пусть V₂₁ = t. Тогда V₁₁ = iV₂₁ = it. Следовательно, Собственное значение λ₁ и собственный вектор V₁ образуют комплексное решение вида Общее решение однородной системы записывается как где C₁, C₂ − произвольные числа.

Определим теперь частное решение X₁(t) неоднородной системы. Здесь мы снова встречаемся с резонансным случаем, поскольку неоднородная часть описывается комплексным числом γ = α + βi = +i и совпадает с собственным значением λ₁ = +i матрицы A. Поэтому будем искать частное решение X₁(t) в виде Пусть векторы A₀, A₁, B₀, B₁ имеют следующие координаты: Тогда компоненты x₁(t), y₁(t) вектора X₁(t) можно представить в виде: Производные данных функций равны: Подставляем эти выражения в неоднородную систему: Приравнивая коэффициенты у подобных функций в левой и правой части, получаем алгебраическую систему для определения неизвестных коэффициентов: Часть уравнений в этой системе является зависимой от других. Поэтому некоторые коэффициенты можно взять произвольными (например, равными нулю). В результате получаем следующий набор чисел: Итак, частное решение X₁(t) имеет вид: Общее решение исходной системы записывается как

   Пример 5

Решить систему уравнений методом вариации постоянных: Построим сначала общее решение однородной системы. Вычислим собственные значения: Для собственного числа λ₁ = +i найдем комплексный собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T: Полагаем V₁₁ = t. Тогда V₂₁ = iV₁₁ = it. Следовательно, Собственному значению λ₁ и собственному вектору V₁ соответствует решение вида Действительная и мнимая части в последнем выражении образуют фундаментальную систему решений: где C₁, C₂ − произвольные постоянные.

Запишем полученное решение отдельно для каждой координаты: Теперь рассмотрим неоднородную систему. В соответствии с методом вариации постоянных, будем считать, что C₁, C₂ являются функциями переменной t: Подставим эти выражения в исходную неоднородную систему: Решим полученную систему и найдем функции C₁(t), C₂(t). Это удобно сделать, используя формулы Крамера: Отсюда получаем Интегрируя, находим: где A₁, A₂ − постоянные интегрирования.

В результате получаем следующие выражения для x(t) и y(t): Первые два слагаемых с коэффициентами A₁, A₂ в каждом выражении описывают решение однородной системы. Остальные части обусловлены неоднородной частью. Окончательный ответ можно представить в виде:

   Пример 6

Решить линейную неоднородную систему методом вариации постоянных. Начнем с построения общего решения однородной системы. Вычислим собственные значения матрицы A и соответствующие им собственные векторы. Для числа λ₁ = 0 собственный вектор V₁ = (V₁₁, V₂₁) ^T равен: Аналогично находим собственный вектор V₂ = (V₁₂, V₂₂) ^T, ассоциированный с числом λ₂ = −1: Итак, общее решение однородной системы имеет вид: где C₁, C₂ − постоянные числа.

Рассмотрим исходную неоднородную систему и найдем ее решение методом вариации постоянных. Заменим постоянные числа C₁, C₂ на функции C₁(t), C₂(t), т.е. будем искать решение в виде: или Производные данных функций равны: Подставляем эти выражения в неоднородную систему: Решая полученную систему алгебраических уравнений, находим производные C₁', C₂' и затем сами функции C₁(t), C₂(t): Интегрируя, получаем: Функции x(t), y(t) будут иметь следующий вид: Окончательный ответ можно представить в таком виде: Заметим, что в данной задаче неоднородная часть состоит из квазимногочленов. Поэтому решение этой системы можно также получить, используя метод неопределенных коэффициентов и принцип суперпозиции.