Формула Лейбница

Формула Лейбница выражает производную n-го порядка от произведения двух функций. Пусть функции u(x) и v(x) имеют производные до n-го порядка включительно. Рассмотрим производные от произведения данных функций.

Первая производная описывается известной формулой Дифференцируя это выражение еще раз, получим вторую производную: Таким же образом находится третья производная от произведения uv: Легко заметить, что данные формулы похожи на разложение бинома Ньютона в соответствующей степени. Считая, что нулевые степени u⁰ и v⁰ соответствуют самим функциям u и v, можно записать общую формулу производной n-го порядка от произведения функций uv в следующем виде: где C_nⁱ обозначает число сочетаний из n элементов по i.

Приведенная формула называется формулой Лейбница и доказывается методом математической индукции.

Доказательство.
Предположим, что для функций u и v существуют также производные (n + 1)-го порядка. Используя рекуррентное соотношение, запишем выражение для производной (n + 1)-го порядка в следующем виде: В результате дифференцирования получаем: Обе суммы в правой части можно объединить в одну сумму. Действительно, возьмем некоторый промежуточный индекс 1 ≤ m ≤ n. Первое слагаемое при i = m записывается как а второе слагаемое при i = m − 1 имеет такой вид: Сумма этих двух слагаемых равна Из комбинаторики известно, что Поэтому, сумма двух указанных членов записывается в виде Ясно, что при изменении m от 1 до n такое объединение слагаемых будет охватывать все члены обеих сумм, кроме члена i = 0 в первой сумме, равного и члена i = n во второй сумме, равного В итоге производная (n + 1)-го порядка от произведения функций uv представляется в виде Как видно, выражение для y⁽ⁿ⁺¹⁾ имеет аналогичный вид, как и для производной y⁽ⁿ⁾. Только теперь верхний предел суммирования вместо n равен n + 1. Таким образом, формула Лейбница доказана для произвольного натурального числа n.

   Пример 1

Найти третью производную функции y = e^2x ln x. Полагаем u = e^2x, v = ln x. Производные функций u и v равны: Производная 3-го порядка от исходной функции находится по формуле Лейбница:

   Пример 2

Найти все производные функции y = e^xx². Пусть u = e ^x и v = x ². Тогда Легко устанавливаются общие формулы для производных n-порядка: Используя формулу Лейбница получаем

   Пример 3

Дана функция  y = x²cos 3x . Найти производную третьего порядка. Пусть u = cos 3x, v = x². Тогда по формуле Лейбница находим: Производные в этом выражении имеют вид: Следовательно, третья производная заданной функции равна

   Пример 4

Найти производную 5-го порядка функции  y = (x³ + 2x² + 3x)e^x. Для нахождения производной y⁽⁵⁾ применим формулу Лейбница. Пусть v = x³ + 2x² + 3x, u = e^x. Тогда производная 5-го порядка y⁽⁵⁾ представляется в виде следующего ряда: Производная любого порядка от экспоненциальной функции u = e^x равна самой же этой функции: а производная многочлена v = x³ + 2x² + 3x отлична от нуля лишь для первых трех порядков дифференцирования: Следовательно, разложение производной y⁽⁵⁾ в ряд имеет вид Остальные члены ряда, очевидно, равны нулю. В результате получаем

   Пример 5

Найти производную n-го порядка функции y = x²cos x. Воспользуемся формулой Лейбница, полагая u = cos x, v = x². Тогда Остальные члены ряда равны нулю, поскольку (x²)⁽ⁱ⁾ = 0 при  i > 2.

На странице Производные высшего порядка в примере 7 была определена производная n-го порядка функции косинус: Следовательно, производная нашей функции равна

   Пример 6

Найти производную 10-го порядка функции в точке x = 0. Обозначим , v = x² + 4x + 1. Производные этих функций имеют такой вид: Производные функции v порядка i > 2, очевидно, равны нулю. Поэтому разложение производной y⁽¹⁰⁾ ограничено лишь несколькими членами: При x = 0 производная 10-го порядка, соответственно, равна

   Пример 7

Найти производную n-го порядка функции y = x³sin 2x. Пусть u = sin 2x, v = x³. Запишем производную n-го порядка по формуле Лейбница: Очевидно, что остальные члены в разложении равны нулю, поскольку (x³)⁽ⁱ⁾ = 0 при  i > 3.

В примере 6 на странице Производные высшего порядка была найдена производная n-го порядка функции синус: Можно показать, что производная sin 2x определяется аналогичной формулой: Следовательно, остальные производные функции sin 2x имеют вид: Подставляя это в формулу n-ой производной заданной функции, получаем: Учтем, что сочетания представляются в таком виде: Тогда

   Пример 8

Найти производную n-го порядка функции  y = (3x² − 2x) ln x,   x > 0. Производную данной функции можно найти по формуле Лейбница: Обозначим u = ln x, v = 3x² − 2x. Запишем производные функции u = ln x: Ясно, что производная n-го порядка от натурального логарифма выражается формулой которую можно доказать методом математической индукции. Что касается квадратичной функции v = 3x² − 2x, то для нее отличны от нуля лишь производные первого и второго порядка: Поэтому разложение производной в ряд по формуле Лейбница содержит лишь несколько членов: Данная формула применима при n > 2.

   Пример 9

Найти производную 4-го порядка функции  y = (x³ − x²) tan x  в точке  x = 1. Полагая u = tan x, v = x³ − x², выразим производную по формуле Лейбница: Производные функции тангенс имеют такой вид: Вычислим производные кубического многочлена v = x³ − x²: Подставляя это в формулу Лейбница, получаем: При  x = 1 производная y⁽⁴⁾ имеет следующее значение:

   Пример 10

Найти производную n-го порядка функции y = arctan x в точке x = 0. Первая производная арктангенса имеет вид Это выражение можно записать как Используя формулу Лейбница, найдем производную (n − 1)-го порядка от обеих частей последнего равенства: Полагаем u = y', v = 1 + x². Левая часть имеет вид: Остальные члены в разложении, очевидно, равны нулю. Таким образом, получаем следующее равенство: которое после подстановки x = 0 принимает вид: Рассмотрим сначала случай когда порядок производной является четным. Пусть n = 2k (k = 0, 1, 2, ...). Вторая производная арктангенса выражается формулой При x = 0 она равна нулю: Тогда из найденного рекуррентного соотношения следует, что все производные арктангенса четного порядка при x = 0 равны нулю.

Для нечетных n (n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, ...) рекуррентную формулу можно записать в таком виде: Учитывая, что вычислим несколько первых нечетных производных: Отсюда легко устанавливается общее выражение для производной арктангенса нечетного порядка при x = 0: