Производные гиперболических функций

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями e^x и e^−x. Например, гиперболические синус и косинус определяются как Производные этих функций имеют вид Выведем производную гиперболического тангенса: Известно, что для гиперболических синуса и косинуса справедливо соотношение Поэтому производная гиперболического тангенса записывается в виде Аналогичным образом можно получить формулы производных остальных гиперболических функций: Как видно, производные гиперболических функций очень похожи на производные тригонометрических функций. Однако важно отметить различие в знаках! Если производная косинуса равна то у производной гиперболического косинуса знак "минус" отсутствует: Для функции секанс ситуация со знаком в точности обратная: Рассмотрим теперь производные 6 обратных гиперболических функций. Соответствующие формулы можно вывести, используя теорему о производной обратной функции.

Возьмем, к примеру, функцию  y = f (x) = Arsh x (обратный гиперболический синус). Вместе с функцией x = φ(y) = sh y  они образуют пару взаимно-обратных функций. Тогда производная обратного гиперболического синуса равна Точно также можно вывести производные обратного гиперболического косинуса, тангенса и котангенса. Из тождества  ch² y − sh² y = 1  следует, что Поэтому Аналогично находим производную функции  y = f (x) = Arcth x (обратный гиперболический котангенс): Учитывая, что получаем Как видно, производные функций  Arth x  и  Arcth x  одинаковы, но определяются при различных значениях x. Ограничения на область определения для обратного гиперболического тангенса и котангенса следуют из множества допустимых значений функций  y = th x  и  y = cth x , соответственно.

Выведем также производные обратного гиперболического секанса и косеканса, хотя эти функции встречаются достаточно редко.

В соответствии с описанной схемой запишем две взаимно-обратные функции:  y = f (x) = Arsech x, (x ∈ (0, 1])  и  x = φ(y) = sech y, (y > 0).  Вычислим производную: Выразим  th y  через  sech y , учитывая, что  y > 0: В результате получаем: Аналогично можно найти производную обратного гиперболического косеканса. Полагаем y = f (x) = Arcsch x, (x ∈ ℜ, x ≠ 0)  и  x = φ(y) = csch y, (y ≠ 0). 

Рассмотрим сначала ветвь  x > 0.  В этом случае переменная y принимает значения  y > 0  (графики данных функций можно посмотреть на странице Функции и их графики). Производная обратного гиперболического косеканса выражается в виде Сделаем подстановку Учитывая, что  y > 0,  выбираем знак "+" перед корнем. Следовательно, Теперь рассмотрим пару взаимно-обратных функций при  x < 0.  В силу нечетности гиперболического косеканса это соответствует условию  y < 0.  Кроме того, гиперболический котангенс также отрицателен при y < 0:  cth y < 0,  то есть в этом случае необходимо записать Тогда производная обратного гиперболического косеканса при  x < 0  выражается формулой Объединяя обе ветви решений, получаем окончательное выражение для производной обратного гиперболического косеканса в виде Для удобства соберем формулы производных всех гиперболических функций в одной таблице: В приведенных ниже примерах найти производную заданной функции.

   Пример 1

Дифференцируя как сложную функцию, находим:

   Пример 2

   Пример 3

Дифференцируя как сложную функцию, получаем: где  x ≠ π/2 + πn,  n ∈ Z.

   Пример 4

Дифференцируя как сложную функцию, получаем:

   Пример 5

Применяя правила дифференцирования разности и произведения функций, имеем:

   Пример 6

Упрощаем ответ по формуле двойного угла:  sh 2x = 2sh x ch x.  Следовательно,

   Пример 7

Используя правило дифференцирования произведения двух функций, получаем:

   Пример 8

Интересно, что производные функций и одинаковы.

   Пример 9

Область допустимых значений x определяется неравенством  x ≠ π/2 + πn,  n ∈ Z.

   Пример 10

Решение существует при условии  x/a > 1.

   Пример 11

Дважды применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

   Пример 12

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: Это выражение упрощается с помощью тригонометрического тождества Следовательно, где  x ≠ π/2 + πn,  n ∈ Z.

   Пример 13

Аналогично, применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

   Пример 14

Доказать равенство Продифференцируем обе части выражения и упростим. Следовательно, исходное выражение верно (по крайней мере, с точностью до постоянного слагаемого).

   Пример 15

Используя формулу производной сложной функции, можно записать: Заданная функция и ее производная существуют при всех x, удовлетворяющих неравенству  x² < 1.

   Пример 16

По правилу дифференцирования сложной функции Данный ответ верен при условии

   Пример 17

Знаменатель упрощается по формуле двойного угла: В результате получаем ответ в виде

   Пример 18

Используя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, имеем: Используя соотношение которое следует из тождества получаем следующий ответ:

   Пример 19

Дважды применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем: Учтем, что  ch² x − 1 = sh² x.  Следовательно, Отношение  sh x/|sh x|  равно ±1 в зависимости от знака аргумента x. Поэтому, окончательный ответ можно записать в виде

   Пример 20

Исследуем сначала область определения данной функции: Вычислим производную, используя правило дифференцирования сложной функции: