Понятие функции является одним из основных в математике. Оно вводится следующим образом. Пусть заданы два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X поставлен в соответствие элемент y = f(x) множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция f. При этом злемент x называется независимой переменной, а элемент y − зависимой переменной. Если рассматриваются числовые множества X ⊂ C, Y ⊂ C (C − множество комплексных чисел), то говорят, соответственно, о числовой функции f. В случае, когда x и y являются действительными числами, функцию y = f(x) можно представить в виде графика в декартовой системе координат Oxy.

Четная функция
f(−x) = f(x)

Нечетная функция
f(−x) = −f(x)

Периодическая функция
f(x + kT) = f(x),
где k − целое число, T − период функции.

Обратная функция
Пусть задана функция y = f(x). Чтобы найти обратную для нее функцию, надо из уравнения y = f(x) выразить переменную x через y, и затем поменять переменные местами. Обратную функцию часто обозначают в виде y = f  ⁻¹(x). Исходная и обратная функции симметричны относительно прямой y = x.

Сложная функция
Предположим, что функция y = f(u) зависит от некоторой промежуточной переменной u, которая, в свою очередь, является функцией независимой переменной x: u = g(x). В таком случае, зависимость y от x представляет собой "функцию от функции" или сложную функцию, которую можно записать как y = f(g(x)). "Двухслойные" сложные функции легко обобщаются на произвольное число "слоев".

Линейная функция
y = ax + b, x ∈ ℜ.
Здесь число a называется угловым коэффициентом прямой. Он равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс: a = tan α. Число b является координатой точки, в которой прямая пересекает ось Oy.

Квадратичная функция
Простейшая квадратичная функция имеет вид
y = x²,  x ∈ ℜ.
В общем случае квадратичная функция описывается формулой
y = ax² + bx + c,  x ∈ ℜ,
где a, b, c − действительные числа (при этом a ≠ 0). График квадратичной функции называется параболой. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента a. При a > 0 ветви параболы направлены вверх, при a < 0 − вниз.

Кубическая функция
Простейшая кубическая функция выражается формулой
y = x³,  x ∈ ℜ.
В общем случае кубическая функция описывается в виде
y = ax³ + bx² + cx + d,  x ∈ ℜ,
где a, b, c, d − действительные числа (a ≠ 0). График кубической функции называется кубической параболой. При a > 0 кубическая функция является возрастающей, при a < 0 − убывающей.

Степенная функция
y = xⁿ,  x ∈ ℜ,  n ∈ N.

Корневая функция
y = √ x ,  x ∈ [0, ∞).

Показательная и экспоненциальная функции
y = a ^x,  x ∈ ℜ,  a > 0, a ≠ 1.
y = e ^x  при a = e = 2.71828182846...
Показательная функция возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.

Логарифмическая функция
y = log_a x,   x ∈ (0, ∞), a > 0, a ≠ 1,
y = ln x,   при a = e,   x ∈ (0, ∞).
Логарифмическая функция является возрастающей при a > 1 и убывающей при 0 < a < 1.

Гиперболический синус

Гиперболический косинус

Гиперболический тангенс

Гиперболический котангенс

Гиперболический секанс

Гиперболический косеканс

Обратный гиперболический синус
y = Arsh x,  x ∈ ℜ.

Обратный гиперболический косинус
y = Arch x,  x ∈ [1, ∞).

Обратный гиперболический тангенс
y = Arth x,  x ∈ (−1, 1).

Обратный гиперболический котангенс
y = Arcth x,  x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).

Обратный гиперболический секанс
y = Arsch x,  x ∈ (0, 1].

Обратный гиперболический косеканс
y = Arcsch x,  x ∈ ℜ,  x ≠ 0.