Построение графиков функций

При построении графика функции y = f(x) можно придерживаться следующей схемы:

1. Найти область определения функции, определить точки разрыва и вертикальные асимптоты (если они существуют).
   
2. Выяснить симметрию графика (четность/нечетность) и периодичность.
   
3. Определить наклонные и горизонтальные асимптоты графика.
   
4. Найти точки пересечения графика с осями координат и области постоянства знака функции (f(x) > 0 и f(x) < 0).
   
5. Вычислить первую производную f '(x), найти точки экстремума и промежутки возрастания/убывания функции.
   
6. Вычислить вторую производную f ''(x), найти точки перегиба и промежутки выпуклости вверх/вниз графика функции.
   
7. Нарисовать график функции.
   

В примерах 1-15 построить графики заданных функций.

   Пример 1

Функция определена при всех x ∈ ℜ. Следовательно, у данной функции нет вертикальных асимптот. Проверим сразу существование наклонных асимптот. Вычислим угловой коэффициент асимптоты: Отсюда видно, что у функции также нет и наклонных асимптот.

Определим точки пересечения графика с осями координат: Далее, решая уравнение находим: т.е. функция имеет три действительных корня.

Промежутки знакопостоянства функции можно найти, решая следующее неравенство методом интервалов (рис.1а): Первая производная функции имеет вид: Находим стационарные точки: При переходе через точку  x = 1 − √3/3  производная меняет знак с плюса на минус (рис.1а). Следовательно, эта точка является точкой максимума. Аналогично устанавливаем, что  x = 1 + √3/3  − точка минимума. Вычислим приближенные значения функции в точках максимума и минимума: Итак, максимум функции достигается в точке (1 − √3/3, 2√3/9) ≈ (0.42, 0.38), а минимум − в точке (1 + √3/3, −2√3/9) ≈ (1.58, −0.38). Промежутки возрастания и убывания функции следуют из рисунка 1а.

Рассмотрим вторую производную: При x ≤ 1 функция является выпуклой вверх, а при x ≥ 1 − выпуклой вниз. Точка x = 1 будет являться точкой перегиба. В этой точке имеем: Учитывая полученные результаты, строим схематический график функции (рисунок 1b).

   Пример 2

Функция определена при всех действительных x. Поэтому у нее нет вертикальных асимптот. Проверим наклонные асимптоты: Поскольку угловой коэффициент k равен бесконечности, то у функции нет также и наклонных асимптот.

Найдем точки пересечения графика с координатными осями: Функция положительна при x > 1 и отрицательна при  x ∈ (−∞, −2) ∪ (−2, 1)  (рис.2а).

Вычислим первую производную: Стационарные точки равны: Характер изменения знака производной показан на рисунке 2а. Следовательно, x = −2 − точка максимума, а x = 0 − точка минимума. Значения функции в точках экстремума равны Вторая производная имеет вид: Функция является строго выпуклой вверх при x < −1 и строго выпуклой вниз при x > −1. Соответственно, точка x = −1 является точкой перегиба, причем В результате анализа можно построить схематический график данной функции. Он имеет вид кубической параболы (рисунок 2b).

   Пример 3

Функция определена при всех действительных значениях x. Следовательно, функция не имеет вертикальных асимптот. Поскольку то график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0, то есть асимптотой является ось абсцисс.

Данная функция является четной. Действительно, Очевидно, что функция не имеет корней и положительна при любых x. В точке x = 0 ее значение равно Вычислим первую производную: Отсюда видно, что x = 0 − стационарная точка. При переходе через нее производная меняет знак с плюса на минус (рисунок 3a). Следовательно, здесь мы имеем максимум функции. Его значение составляет  y(0) = 1. 

Найдем вторую производную: Она равна нулю в следующих точках: При переходе через эти точки вторая производная меняет свой знак на противоположный. Поэтому обе точки являются точками перегиба. Функция строго выпукла вниз в интервалах  (−∞, −√3)  и  (√3, +∞)  и, соответственно, строго выпукла вверх в интервале  (−√3, √3).  Найденные точки перегиба в силу четности функции имеют одинаковые значения y: Схематический график функции представлен на рисунке 3b.

   Пример 4

Функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. В таком случае у нее нет вертикальных асимптот. Проверим существование наклонных асимптот. Вычислим следующий предел: При вычислении второго предела была сделана замена  (−x) → z  и использовано правило Лопиталя. Видно, что функция стремится к нулю при  x → −∞,  т.е. график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

Определим корни функции: Отсюда следует, что функция положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0 (рис.4a).

Найдем первую производную и определим точки экстремума и промежутки монотонности: Тогда корни производной имеют такие значения: Интервалы постоянного знака для первой производной указаны на рис.4a. Функция строго убывает в интервале  (−∞, −3)  и строго возрастает в интервалах  (−3, 0)  и  (0, +∞).  Таким образом, точка x = −3 является точкой минимума. Другая стационарная точка x = 0 точкой экстремума не является, поскольку при переходе через эту точку производная не меняет свой знак. В точке минимума имеем: Исследуем теперь вторую производную: Вторая производная равна нулю в следующих точках: Итак, вторая производная имеет такие корни: При переходе через каждую из этих точек знак производной меняется на противоположный (рис.4a). Следовательно, эти точки являются точками перегиба. Вычислим приближенно значения соответствующих координат y: Теперь, учитывая все характерные точки, можно построить схематический график функции (рис.4b).

   Пример 5

Функция определена при всех действительных значениях x, кроме точки x = 0, где она терпит разрыв. Вычислим односторонние пределы в этой точке: При вычислении второго предела была сделана замена  1/x → z  и применено правило Лопиталя.

Таким образом, прямая x = 0 (т.е. ось ординат) служит вертикальной асимптотой данной функции. Функция всегда положительна, кроме точки x = 0, в которой левосторонний предел равен  y(−0) = 0.  Проверим существование наклонных асимптот при x → ±∞: Следовательно, наклонные асимптоты отсутствуют.

Вычислим первую производную и найдем стационарные точки: Слева от точки x = 1/2 производная отрицательна, а справа − положительна (рис.5a). Значит, x = 1/2 − точка локального минимума. Минимальное значение составляет Вторая производная имеет вид: В последнем выражении квадратичная функция в числителе не имеет действительных корней и всегда положительна. Учитывая, что в знаменателе находится x², получаем, что вторая производная всюду положительна при x ≠ 0. Следовательно, функция строго выпукла вниз в интервалах  (−∞, 0)  и  (0, +∞).  Точек перегиба у нее не существует.

График функции показан на рисунке 5b.

   Пример 6

Функция определена при всех действительных x, кроме точки x = 0. Найдем односторонние пределы в этой точке: Следовательно, прямая x = 0 (ось ординат) является вертикальной асимптотой. Выясним существование наклонных и горизонтальных асимптот: Таким образом, график данной функции имеет также и горизонтальную асимптоту y = 0 (то есть ось абсцисс).

Заметим, что функция является нечетной, поскольку Определим точки пересечения графика функции с осью Ox: Функция принимает положительные значения на интервалах (−1, 0) и (1, +∞) и отрицательные значения на интервалах (−∞, −1) и (0, 1) (рис.6a).

Вычислим производную: Найдем стационарные точки: Точка  x = −√3  является точкой минимума, поскольку при переходе через нее производная меняет знак с минуса на плюс (рис.6a). Другая точка  x = √3  является точкой максимума. В этих точках функция имеет следующие значения: В силу нечетности графика функции можно сразу записать: Находим вторую производную функции: Вторая производная имеет нули в следующих точках: Из рисунка 6a видно, что функция строго выпукла вверх на интервалах (−∞, −√6) и (0, √6) и строго выпукла вниз на интервалах (−√3, 0) и (√6, +∞). При переходе через точки  x = −√3  и  x = √3  вторая производная меняет знак. Следовательно, здесь мы имеем точки перегиба. Вычислим значение функции в них: Снова, в силу нечетности, получаем: Используя найденные характерные точки, строим график функции (рис.6b).

   Пример 7

Функция определена на всей числовой оси. Ее график пересекает ось абсцисс в точках x = 0 и x = −1. Функция положительна на интервалах (−1, 0) и (0, +∞) и отрицательна на интервале (−∞, −1) (рис.7a).

Поскольку функция всюду непрерывна, у нее нет вертикальных асимптот. Вычислим коэффициенты наклонной асимптоты: Следовательно, функция имеет наклонную асимптоту  y = x + 1/3.

Находим производную: Отсюда следует, что функция имеет следующие критические точки: В первых двух точках производная не существует. Однако при переходе через точку x = 0 производная меняет знак с минуса на плюс (рис.7a). Следовательно, в этой точке (точке излома) существует минимум. Значение функции при x = 0 уже было найдено выше:  y(0) = 0. В точке x = −1 экстремума не существует, поскольку при переходе через нее знак производной не меняется. В точке x = −2/3 производная равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак с плюса на минус. Поэтому здесь функция имеет максимум, равный Исследуем точки перегиба и характер выпуклости функции. Вторая производная имеет следующий вид: Таким образом, вторая производная нигде не равна нулю. Тем не менее, особая точка x = −1 является точкой перегиба, поскольку при переходе через нее вторая производная меняет свой знак на противоположный (рис.7a). Напротив, другая особая точка x = 0 точкой перегиба не является. Функция является выпуклой вниз на интервале (−∞, −1) и выпуклой вверх на интервалах (−1, 0) и (0, +∞).

Учитывая все найденные характерные точки, можно построить схематический график функции (рис.7b).

   Пример 8

Очевидно, что функция определена при x ≥ −1 и является неотрицательной в своей области определения. Асимптоты у функции отсутствуют.

Найдем точки пересечения графика с осями координат: Следовательно, точки пересечения имеют координаты (0, 0) и (−1, 0).

Вычислим производную: Критические точки имеют такие значения: Функция возрастает на интервалах (−1, −4/5) и (0, +∞) и убывает на интервале (−4/5, 0). В точке x = −4/5 функция имеет максимум, равный В точке x = 0 существует минимум функции, причем  y(0) = 0.

Рассмотрим вторую производную: Вторая производная равна нулю в следующих точках: Один из корней  x = 2/15(−6 − √6) ≈ −1.13   находится за пределами области допустимых значений. При переходе через второй корень  x = 2/15(−6 + √6) ≈ −0.47   вторая производная меняет знак (рис.8a). Следовательно, эта точка является точкой перегиба. Значение функции в ней приблизительно равно Слева от указанной точки график является выпуклым вверх, а справа − выпуклым вниз. Схематический вид функции представлен на рисунке 8b.

   Пример 9

Область определения: x ≠ 0. В точке x = 0 функция терпит разрыв. Вычисляя односторонние пределы, получаем: Отсюда следует, что x = 0 − вертикальная асимптота.

Исследуем наклонные асимптоты: Следовательно, существует наклонная асимптота, уравнение которой имеет вид  y = x − 3.

График функции пересекает ось абсцисс в точке x = 1. При x > 1 функция принимает положительные значения, а при x < 1 − отрицательные (исключая точку x = 0, в которой функция не определена).

Первая производная функции выражается следующей формулой: Критические точки функции: Функция является строго убывающей на интервале (−2, 0) и строго возрастающей на интервалах (−∞, −2), (0, 1) и (1, +∞) (рис.9a).

В точке x = −2 функция имеет максимум, равный В точке x = 1 экстремума не существует, поскольку при переходе через нее знак производной не меняется.

Вычислим вторую производную: Видно, что y'' = 0 при x = 1, причем слева от этой точки y'' < 0, а справа y'' > 0. Таким образом, функция выпукла вверх на интервалах (−∞, 0), (0, 1) и выпукла вниз на интервале (1, +∞). Точка x = 1 является точкой перегиба, причем  y(1) = 0.

Схематический график функции показан на рисунке 9b.

   Пример 10

Функция определена при всех действительных x. Поэтому она не имеет вертикальных асимптот. Легко показать, что данная функция является нечетной. Действительно: Проверим существование наклонных асимптот, вычислив следующие пределы: Следовательно, при  x → +∞  график функции имеет наклонную асимптоту  y = x.  В силу нечетности функции данная асимптота существует и при  x → −∞.

Определим точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки, в которых функция имеет постоянный знак. Неравенство  y(x) > 0  можно записать в виде и решить методом интервалов (рис.10a). Видно, что функция положительна на интервалах (−1, 0) и (1, +∞) и, соответственно, отрицательна на интервалах (−∞, −1) и (0, 1).

Находим производную: Производная не существует при x = 0 и x = ±1 и равна нулю в следующих точках: Таким образом, у функции имеется 5 критических точек. Определяем знак производной при переходе через эти точки (рис.10a). В результате устанавливаем, что  x = −1/√3  является точкой максимума, а  x = 1/√3  − точкой минимума (что вполне естественно вследствие нечетности функции). Значения максимума и минимума равны Вычислим вторую производную: Вторая производная нигде не равна нулю и (также как и первая производная) не существует при x = 0 и x = ±1. При переходе через эти точки происходит смена знака второй производной (рис.10a). Поэтому указанные точки являются точками перегиба графика функции. Их координаты были найдены в начале решения и составляют (0, 0), (−1, 0) и (1, 0).

По результатам анализа строим график заданной функции (рис.10b).

   Пример 11

Выясним область определения функции: В граничных точках x = ±1 функция имеет следующие значения: Рассмотрим неравенство  y(x) > 0 : Следовательно, функция положительна в промежутке [1, +∞). Аналогично можно показать, что функция отрицательна в промежутке (−∞, −1].

Вертикальных асимптот у функции нет. Исследуем наклонные (в том числе горизонтальные) асимптоты: Таким образом, график функции имеет две асимптоты: горизонтальную асимптоту y = 0 (ось абсцисс) при x → +∞  и наклонную асимптоту  y = 2x  при  x → −∞.

Вычислим производную: Первая производная не существует при x = ±1. Числитель производной нигде не равен нулю: Поэтому других критических точек у функции нет. Знаки производной указаны на рис.11a, т.е. функция убывает на интервале (−∞, −1) и возрастает на интервале (1, +∞).

Вычислим вторую производную и исследуем выпуклость графика: Как видно, вторая производная положительна во всей области определения. Следовательно, обе ветви графика функции (левая и правая) выпуклы вниз. Схематический вид функции представлен на рисунке 11b.

   Пример 12

Функция определена на всей числовой оси. Она не имеет вертикальных асимптот. Убедимся, что у нее отсутствуют также и наклонные асимптоты. В самом деле, Функция является четной, поскольку Определим точки пересечения графика с координатными осями: Действительные решения для x существуют лишь при  z = 1 + √2.  Тогда получаем: Ясно, что функция положительна в интервалах (−∞, −1.55), (1.55, +∞) и, соответственно, отрицательна в интервале (−1.55, 1.55) (рис.12a).

Найдем первую производную и точки экстремума: Исходя из характера изменения знака производной (рис.12a), устанавливаем, что x = −1 и x = 1 − точки минимума, а x = 0 − точка максимума. Значения функции в этих точках равны Исследуем функцию на выпуклость. Вторая производная выражается формулой Она равна нулю в следующих точках: При переходе через обе точки вторая рпоизводная меняет свой знак на противоположный (рис.12a). Следовательно, найденные точки являются точками перегиба. Их y-координаты одинаковы в силу четности функции и равны Функция является строго выпуклой вниз на интервалах (−∞, −1/√3 ) и (1/√3, +∞) и строго выпуклой вверх на интервале (−1/√3, 1/√3). График функции приведен на рисунке 12b.

   Пример 13

Функция определена при всех x ∈ ℜ. Используя формулу преобразования произведения в сумму, выразим функцию в виде Функция является периодической с периодом 2π и четной, так как Асимптоты у функции отсутствуют. При x = 0 функция принимает нулевое значение: y(0) = 0.

Вычислим корни функции: Общим решением являются значения  x = πk/2,  k ∈ Z.  На интервале [0, 2π] функция имеет нули в точках  0, π/2, π, 3π/2, 2π.

Для определения интервалов знакопостоянства функции решим неравенство: Здесь существует два решения: Как видно, решением неравенства  y(x) > 0  являются углы в первой и четвертой четверти. Объединяя обе ветви решений, можно записать: Соответственно, Здесь мы использовали нестрогие неравенства, чтобы включить нулевые значения функции (рис.13a).

Перейдем к исследованию монотонности и точек экстремума. Производная записывается в виде Найдем корни производной. Задача сводится к решению тригонометрического уравнения Используя формулу синуса тройного угла, получаем: Здесь угол  arcsin √2/3  приблизительно равен 0.3π рад или 55°.

Таким образом, отрезок [0, 2π] содержит следующие стационарные точки: При переходе через каждую из этих точек первая производная меняет свой знак на противоположный. Следовательно, все найденные точки являются точками экстремума, причем среди них точки минимума (рис.13a): Остальные точки являются точками максимума: Вычислим значения функции в точках минимума и максимума: Исследуем теперь выпуклость графика и точки перегиба. Дифференцируя первую производную еще раз, получаем: Точки перегиба удовлетворяют уравнению Используя формулу косинуса тройного угла, получаем: Поскольку угол  arccos√7/9  приблизительно равен 0.16π рад или 28°, то отрезок [0, 2π] содержит следующие точки, в которых вторая производная равна нулю: Можно показать, что при переходе через эти точки вторая производная меняет свой знак на противоположный (рис.13a). Поэтому указанные точки являются точками перегиба. Вычислим соответствующие значения функции: Собирая вместе полученные данные о характерных точках, строим схематический график функции (рис.13b).

   Пример 14

Функция определена при всех x ∈ ℜ. Она является четной: и периодической с периодом 2π: Функция имеет нули в следующих точках: На отрезке [0, 2π] корни имеют такие значения: Решим неравенство  y(x) > 0: Тогда на отрезке [0, 2π] функция положительна при условии  2π/3 < x < 4π/3.  При других значениях x она отрицательна или равна нулю.

Вычислим производную: Определим стационарные точки: Здесь угол  arccos 1/4  приближенно равен 0.42π рад или 76°. Тогда на отрезке [0, 2π] получаем следующие стационарные точки: При переходе через каждую из этих точек первая производная меняет свой знак. Следовательно, данные точки представляют собой точки экстремума. Среди них точки максимума: и точки минимума: Вычислим максимальные и минимальные значения функции: Теперь рассмотрим вторую производную и характер выпуклости графика функции: Найдем корни 2-ой производной: В результате на отрезке [0, 2π] получаем следующие точки, в которых вторая производная равна нулю: или приближенно Поскольку при переходе через эти точки вторая производная меняет знак на противоположный (рис.14a), указанные точки являются точками перегиба. Вычислим соответствующие значения функции: Теперь, зная характерные точки, можно построить график функции (рис.14b).

   Пример 15

Построить кривую, заданную параметрическими уравнениями Исследуем сначала графики функций x(t) и y(t). Обе функции представляют собой кубические многочлены, которые определены для всех x ∈ ℜ. Находим производную x'(t): Решая уравнение x'(t) = 0, определяем стационарные точки функции x(t): При t = −1 функция x(t) достигает максимума, равного а в точке t = 1/3 она имеет минимум, равный Рассмотрим производную y'(t): Находим стационарные точки функции y(t): Здесь, аналогично, функция y(t) достигает максимума в точке t = −2: и минимума в точке t = 2/3: Графики функций x(t), y(t) схематически показаны на рисунке 15a. Заметим, что так как то кривая y(x) не имеет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот. Более того, поскольку то кривая y(x) не имеет также и наклонных асимптот.

Определим точки пересечения графика функции y(x) с осями координат. Пересечение с осью абсцисс происходит в следующих точках: Таким же образом находим точки пересечения графика с осью ординат: Разделим ось t на 5 интервалов: На первом интервале (−∞, −2) значения x и y возрастают от −∞ до  x(−2) = −2  и  y(−2) = 8.  Это схематически показано на рисунке 15b.

На втором промежутке (−2, −1) переменная x возрастает от  x(−2) = −2  до  x(−1) = 1,  а переменная y убывает от  y(−2) = 8  до  y(−1) = 5.  Здесь мы имеем участок убывающей кривой y(x). Она пересекает ось ординат в точке (0, 3 + 2√5).

На третьем интервале (−1, 1/3) обе переменные убывают. Значение x изменяется от  x(−1) = 1  до x(1/3) = −5/27.  Соответственно, значение y уменьшается от  y(−1) = 5  до  y(1/3) = −29/27.  Кривая y(x) при этом пересекает начало координат.

На четвертом интервале (1/3, 2/3) переменная x возрастает от  x(1/3) = −5/27  до  x(2/3) = 2/27,  а переменная y убывает от  y(1/3) = −29/27  до  y(2/3) = −40/27.  На этом участке кривая y(x) пересекает ось ординат в точке (0, 3 − 2√5).

Наконец, на последнем интервале (2/3, +∞) обе функции x(t), y(t) возрастают. Кривая y(x) пересекает ось абсцисс в точке  x = −9 + 5√5 ≈ 2.18

Для уточнения формы кривой y(x) вычислим точки максимума и минимума. Производная y'(x) выражается в виде Изменение знака производной y'(x) показано на рисунке 15c. Видно, что в точке t = −2, т.е. на границе I-го и II-го интервалов кривая имеет максимум, а при t = 2/3 (на границе IV-го и V-го интервалов) существует минимум. При переходе через точку t = 1/3 производная также меняет знак с плюса на минус, но в этой области кривая y(x) не является однозначной функцией. Поэтому указанная точка экстремумом не является.

Исследуем также выпуклость данной кривой. Вторая производная y''(x) имеет вид: Следовательно, вторая производная меняет свой знак на противоположный при переходе через следующие точки (рис.5с): Поэтому указанные точки представляют собой точки перегиба кривой y(x).

Схематический график кривой y(x) показан выше на рисунке 15b.