Физические задачи на оптимизацию

При исследовании физических систем часто возникает вопрос об оптимальной конфигурации, оптимальном режиме работы или экстремальных значениях величин, характеризующих систему. Такой анализ можно выполнить с помощью производной. Некоторые физические задачи на данную тему рассматриваются ниже.

   Пример 1

При каком внутреннем сопротивлении источника мощность, выделяющаяся на нагрузке, будет максимальна (рисунок 1)? Сила тока в электрической цепи определяется полным законом Ома: Тогда мощность, выделяющаяся на внешнем сопротивлении, равна Данная мощность представляет собой функцию P(R). Исследуем ее на экстремум. Производная P'(R) записывается в виде Отсюда видно, что производная равна нулю при условии R = r, причем при переходе через это значение (при возрастании R) производная меняет знак с плюса на минус. Таким образом, найденное значение соответствует максимуму функции P(R). Наибольшее значение выделяемой мощности определяется следующим выражением:

   Пример 2

Простейшая электрическая цепь состоит из источника тока с внутренним сопротивлением r и внешней нагрузки сопротивлением R (рисунок 1). При каком условии коэффициент полезного действия источника будет наибольшим? Коэффициент полезного действия η определяется как отношение полезной мощности W_R к полной мощности источника W: Выражения для полезной и полной мощности следуют из полного закона Ома: где ε − э.д.с. источника, I - сила тока в цепи. Отсюда получаем формулу для коэффициента полезного действия в следующем виде: В данной формуле к.п.д. η зависит от R, т.е. представляет собой функцию η(R). Исследуем ее с помощью производной: Таким образом, производная η'(R) всегда положительна, то есть к.п.д. монотонно возрастает при увеличении внешнего сопротивления R (и неизменном внутреннем сопротивлении r). Если записать к.п.д. η в виде то легко увидеть, что к.п.д. приближается к максимально возможному значению 1 при условии r/R → 0.

   Пример 3

Тело брошено под углом α к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол α, при котором дальность полета тела будет наибольшей. Пусть тело брошено с начальной скоростью v₀ (рисунок 2). Уравнения движения тела в системе координат xOy имеют вид: где g − ускорение свободного падения, t − время, а компоненты начальной скорости v₀ равны Тогда можно записать: В момент падения тела на землю координата y равна нулю. Следовательно, время движения тела составляет: Подставляя это значение t в первое уравнение системы, находим дальность полета L: Величина L является функцией от угла бросания α:  L = L(α). Можно сразу отметить, что L достигает максимального значения при условии Такой же результат можно получить более строго, исследуя функцию L(α) с помощью производной. Дифференцируя L(α), получаем: Приравнивая производную нулю, определяем экстремум функции L(α): Функция  cos2α  положительна слева от точки α = π/4 и отрицательна справа от нее, т.е. при переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, α = π/4 − точка максимума.

Таким образом, максимальная дальность броска достигается при бросании тела под углом α = π/4 = 45°. Данное значение не зависит от начальной скорости v₀. Сама же максимальная дальность L_max зависит от v₀ и определяется формулой

   Пример 4

Дождевая капля с начальной массой m₀ падает под действием силы тяжести. По мере падения капля испаряется, так, что ее масса уменьшается со временем по линейному закону  m(t) = m₀ − bt,  где b − скорость испарения. Определить момент времени, при котором кинетическая энергия капли будет наибольшей. Кинетическая энергия тела, падающего из состояния покоя, выражается формулой Подставляя в эту формулу закон изменения массы капли, получаем функцию K(t): Вычислим производную и найдем стационарные точки функции K(t): Производная K'(t) представляет собой квадратичную функцию. Первый корень t₁ = 0 является точкой минимума, а второй корень t₂ = 2m₀/(3b) − точкой максимума функции K(t). Следовательно, капля будет наибольшую кинетическую энергию в момент времени t = 2m₀/(3b)

В этот момент кинетическая энергия будет равна

   Пример 5

На какой высоте над центром круглого стола надо подвесить лампочку, чтобы освещенность края была наибольшей? Введем следующие обозначения (рисунок 3 ниже): R − радиус стола, h − высота, на которой подвешена лампочка, L − расстояние от лампочки до края стола, I − сила света лампочки, α − угол между прямой L и перпендикуляром к поверхности стола. Освещенность края стола определяется формулой Поскольку то освещенность E можно записать как функцию E(h) в виде Вычислим производную: Найдем корни производной: При переходе через точку h = R/√2 производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому данная точка является точкой максимума. Максимальная освещенность при этом равна

   Пример 6

Груз лежит на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения груза равен k. Определить угол α, при котором сила, действующая на груз и вызывающая его перемещение, будет наименьшей. На груз действуют четыре силы (рисунок 4): сила тяжести mg, сила реакции опоры N, внешняя сила F и сила трения F_тр. Угол α может изменяться в промежутке 0 ≤ α ≤ π/2.

Уравнение движения груза в векторной форме записывается в следующем виде: В предельном случае (когда груз еще находится в покое), все силы уравновешены. Следовательно, В проекции на координатные оси получаем следующую систему уравнений: Учтем далее, что сила трения по абсолютной величине равна F_тр = kN. Тогда Из этой системы выразим силу F через угол α и другие величины. Из второго уравнения системы следует, что Подставляя это в первое уравнение, находим функцию F(α): Продифференцируем полученное выражение по углу α: Видно, что производная равна нулю при условии Таким образом, критический угол составляет α = arctan k. Функция tan α является возрастающей при увеличении α. Поэтому при переходе через данное критическое значение производная меняет знак с минуса на плюс, т.е. здесь существует минимум функции F(α). Следовательно, при указанном угле α сила F будет наименьшей.

Вычислим значение наименьшей силы. Подставляя значение найденного угла α, получаем: Преобразуем тригонометрические функции в знаменателе: В результате получаем:

   Пример 7

Источник света расположен на прямой, соединяющей центры шаров с радиусами R₁ и R₂. Определить положение источника, при котором площадь освещенной поверхности двух шаров является наибольшей. Пусть расстояние O₁O₂ между центрами шаров равно L, а источник света находится на расстоянии x от центра первого шара (рисунок 5 ниже). Освещенные участки представляют собой поверхности шаровых секторов. Их общая площадь определяется формулой где h₁, h₂ − высоты соответствующих шаровых сегментов.

Учитывая подобие прямоугольных треугольников ALO₁ и O₁AI, можно записать, что Следовательно, Аналогичное выражение для второго шара имеет следующий вид: В таком случае суммарная освещенная площадь равна Находим производную: Приравнивая производную нулю, получаем следующее решение: При переходе через ноль производная меняет знак с плюса на минус, т.е. найденная точка является точкой максимума функции S(x).

Итак, освещенная площадь будет наибольшей, когда источник находится в точке, в которой отношение квадратов расстояний от источника до центров шаров равно отношению кубов их радиусов.

   Пример 8

Сосуд с жидкостью высотой h расположен на горизонтальной поверхности. Сосуд имеет боковое отверстие, из которого вытекает струя. При каком положении отверстия дальность струи будет наибольшей? Предположим, что скорость вытекания жидкости из отверстия описывается формулой Торричелли: где x − высота отверстия над горизонтальной поверхностью, h − x − высота столба жидкости выше отверстия, g − ускорение свободного падения (рисунок 6).

Вычислим дальность струи y, предполагая, что движение жидкости описывается такими же уравнениями, как и движение материальной точки. В таком случае время, за которое жидкость, вытекающая из отверстия, достигает поверхности, равно а дальность струи составляет Подставим сюда выражение для скорости v из формулы Торричелли: Мы получили выражение для дальности струи y в зависимости от высоты отверстия x. Исследуем эту функцию на экстремум: Очевидно, что данная точка является точкой максимума, поскольку при переходе через это значение производная меняет знак с плюса на минус.

Таким образом, отверстие для вытекающей жидкости должно располагаться ровно в середине столба жидкости. В этом случае дальность струи будет наибольшей и равной высоте столба жидкости: (красивый ответ, не так ли?).

   Пример 9

Турист хочет перебраться через озеро круговой формы из точки A в диаметрально противоположную точку B. Это можно сделать, плывя на лодке или двигаясь пешком вдоль береговой линии. Определить наиболее быстрый маршрут, если скорость движения лодки u, а скорость ходьбы v. Пусть радиус озера равен R. Рассмотрим произвольный комбинированный маршрут, когда часть пути проиходит по озеру, и часть − по берегу. Маршрут движения определяется вписанным углом α = CAD (рисунок 7 ниже). При этом центральный угол COB равен 2α. Длина участка пути по озеру составляет а длина участка пути по берегу равна где угол α выражен в радианах и изменяется в промежутке 0 ≤ α ≤ π/2. Тогда полное время движения записывается в виде Дифференцируя, находим: Производная равна нулю при условии Исследуем тип найденного экстремума с помощью второй производной: Поскольку вторая производная всегда отрицательна при 0 ≤ α ≤ π/2, то найденная точка является точкой максимума функции t(α), что нам совершенно не подходит. Ясно, что в интервале (0, π/2) функция t(α) выпукла вверх, и следовательно, ее наименьшее значение достигается в одной из граничных точек интервала. Вычислим значения t(α) при α = 0 и α = π/2: Случай α = 0 соответствует движению только по воде на лодке вдоль прямой AOB, а случай α = π/2 описывает перемещение пешком вдоль полукруга ACB. Какой из этих случаев соответствует наименьшему времени зависит от соотношения скоростей u и v. Если то перемещение на лодке (со скоростью u) займет меньше времени, чем движение по суше (со скоростью v). И наоборот, в случае более быстрым будет движение по берегу озера.

В случае равенства этих отношений оба маршрута с точки зрения затраченного времени будут равноценны.

   Пример 10

Автомобиль A движется в северном направлении со скоростью u (км/час), а автомобиль B − в западном направлении со скоростью v (км/час). В начальный момент автомобиль B находится от автомобиля A на расстоянии b (км) строго в восточном направлении. Определить наименьшее расстояние между автомобилями. Рассмотрим плоскость xOy (рисунок 8). Движение автомобиля A происходит вдоль положительного направления оси ординат. Его координаты в момент t равны (0, ut). Перемещение автомобиля B происходит влево по оси абсцисс и его координаты в момент t составляют (b − vt, 0).

Расстояние между автомобилями вычисляется по теореме Пифагора: Исследуем экстремальные значения функции d(t). Вычислим производную: Производная равна нулю в следующий момент времени: Знаменатель производной равен удвоенному расстоянию d(t) и всегда положителен. Числитель, а следовательно, и вся производная при переходе через данное значение меняют знак с минуса на плюс. Следовательно, найденное значение t является точкой минимума. В этот момент расстояние между автомобилями будет наименьшим. Оно определяется следующей формулой: