Уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальное уравнение вида где φ(y') и ψ(y') − известные функции, дифференцируемые на некотором интервале, называется уравнением Лагранжа.

Полагая  y' = p и дифференцируя по переменной x, получаем общее решение уравнения в параметрической форме: при условии, что где p − параметр.

Уравнение Лагранжа может также иметь особое решение, если нарушается условие φ(p) − p ≠ 0. Особое решение определяется функцией где c − корень уравнения φ(p) − p = 0. Уравнение Клеро имеет вид: где ψ(y') − некоторая нелинейная дифференцируемая функция. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа, когда φ(y') = y'. Оно решается аналогичным образом с помощью введения параметра. Общее решение определяется выражением в котором C − произвольная постоянная.

Также как и уравнение Лагранжа, уравнение Клеро может иметь особое решение, которое выражает в параметрической форме: где p − параметр.

   Пример 1

Найти все решения дифференциального уравнения  y = 2xy' − 3(y')². Здесь мы имеем дело с уравнением Лагранжа. Будем решать его методом введения параметра.
Обозначим  y' = p, так что уравнение можно записать в форме: Дифференцируя обе части, получаем: Дифференциал dy можно заменить на pdx: Разделив на p, можно записать следующее уравнение (позже мы проверим, не является ли p = 0 решением исходного уравнения): Как видно, мы получили линейное уравнение для функции x(p). Интегрирующий множитель будет равен: Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения имеет вид: Подставляя это выражение для x в уравнение Лагранжа, находим: Таким образом, общее решение в параметрической форме определяется системой уравнений: Кроме общего решения, уравнение Лагранжа может иметь еще особое решение. Решая алгебраическое уравнение  φ(p) − p = 0, находим корень: Следовательно, особое решение представляется в виде следующей линейной функции:

   Пример 2

Найти общее и особое решения уравнения  2y − 4xy' − ln y' =0. Здесь мы снова имеем дело с уравнением Лагранжа. Полагая  y' = p, можно записать: Дифференцируем обе части уравнения: Поскольку dy = pdx, то получаем: При делении на p, мы потеряли корень p= 0, который соответствует решению y= 0.

Таким образом, мы получаем линейное дифференциальное уравнение для функции x(p). Решим его с помощью интегрирующего множителя: Функция x(p) определяется формулой Подставляя это в исходное уравнение, находим параметрическое выражение для y: Следовательно, общее решение уравнения в параметрической форме записывается в виде: Чтобы найти особое решение, решим следующее алгебраическое уравнение: Отсюда следует, что y = C. Путем прямой подстановки можно убедиться, что постоянная C должна быть равна нулю.

Итак, заданное дифференциальное уравнение имеет особое решение y = 0. Мы уже встречались с этим корнем выше при делении уравнения на p.

   Пример 3

Найти общее и особое решения дифференциального уравнения  y = xy' + (y')². Здесь мы имеем дело с уравнением Клеро. Полагая  y' = p, его можно записать в виде Продифференцировав по переменной x, находим: Заменим dy на pdx: Приравнивая первый множитель к нулю, получаем: Теперь подставим это во второе уравнение: В результате получаем общее решение заданного уравнения Клеро. Графически, это решение представляется в виде однопараметрического семейства прямых.

Приравнивая нулю второй сомножитель, находим еще одно решение: Это уравнение соответствует особому решению дифференциального уравнения и в параметрической форме записывается как Исключая p из системы, получаем следующее уравнение интегральной кривой: С геометрической точки зрения, парабола является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением (Рисунок 1).

   Пример 4

Найти общее и особое решения дифференциального уравнения . Как видно, это уравнение является уравнением Клеро. Введем параметр  y' = p: Дифференцируя обе части уравнения по переменной x, получаем: Поскольку dy = pdx, то можно записать: Рассмотрим случай dp = 0. Тогда p = C. Подставляя это в уравнение, находим общее решение: Графически это решение соответствует однопараметрическому семейству прямых линий.

Второй случай описывается уравнением . Найдем соответствующее параметрическое выражение для y: Параметр p можно исключить из формул для x и y. Возводя последние уравнения в квадрат и складывая их, получаем: Полученное выражение является уравнением окружности радиусом 1, расположенным в начале координат. Таким образом, особое решение представляется единичной окружностью в плоскости xy, которая является огибающей для семейства прямых линий (Рисунок 2).