Неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами

Для полноты картины необходимо рассмотреть также неоднородные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения этого типа записываются в виде где коэффициенты a₁(x), ..., a_n(x) и правая часть f(x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [a, b].

С помощью линейного дифференциального оператора L данное уравнение можно записать в компактной форме: где L включает в себя операции дифференцирования, умножения на коэффициенты a_i (x) и сложения.

Как известно, общее решение y(x) неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения y₀(x) соответствующего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения: Методы нахождения общего решения однородного уравнения рассмотрены здесь. Поэтому далее мы акцентируем внимание на построении решения неоднородного уравнения.

Для этой цели обычно используется метод вариации постоянных или метод Лагранжа. С помощью данного метода можно сразу получить общее решение неоднородного уравнения, если известно общее решение однородного уравнения. Пусть требуется решить неоднородное уравнение n-го порядка: Предположим, что общее решение однородного уравнения найдено и выражается формулой содержащей n произвольных постоянных C₁, C₂,..., C_n.

Идея данного метода состоит в том, что постоянные C₁, C₂,..., C_n заменяются на непрерывно дифференцируемые функции C₁(x), C₂(x),..., C_n(x), которые подбираются таким образом, чтобы решение удовлетворяло неоднородному дифференциальному уравнению.

Первые производные функций C_i (x) определяются из системы n уравнений, имеющей вид Заметим, что главный определитель этой системы представляет собой вронскиан W(x), построенный на основе фундаментальной системы решений Y₁, Y₂,..., Y_n. Поскольку решения Y₁, Y₂,..., Y_n линейно независимые, то вронскиан не равен нулю.

Неизвестные производные C_i '(x) вычисляются по формулам Крамера: где определитель W_i (x) получается из определителя Вронского W(x) заменой i-го столбца на столбец правой части (0, 0, ..., f(x)).

Далее выражения для C_i (x) находятся путем интегрирования: Здесь через A_i обозначены постоянные интегрирования.

В результате общее решение неоднородного уравнения записывается в виде В последнем выражении первая сумма соответствует общему решению y₀(x) однородного уравнения (с произвольными числами A_i), а вторая сумма описывает частное решение y₁(x) неоднородного уравнения.

   Пример

Найти общее решение дифференциального уравнения Сначала найдем общее решение однородного уравнения Воспользуемся симметрией данного уравнения и введем новую переменную Тогда уравнение принимает вид: Полученное уравнение легко решается методом разделения переменных: где B₂ − произвольное число.

Найдем теперь функцию y(x): Мы получили неоднородное уравнение 2-го порядка. Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: Учитывая, что правая часть B₂(x² − 2) является квадратичным многочленом, будем искать частное решение в виде Подставляем эту функцию и ее производные в наше неоднородное уравнение и находим коэффициенты D, E, F: Следовательно, Итак, частное решение y₁ выражается формулой Заменяя произвольное число (−B₂) на C₃, окончательно получаем общее решение однородного уравнения: Здесь функции Y₁ = exp(x), Y₂ = exp(−x), Y₃ = x² образуют фундаментальную систему решений.

Теперь найдем решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных. Общее решение уравнения представляется в виде где производные неизвестных функций C₁(x), C₂(x), C₃(x) удовлетворяют системе уравнений Вычислим определители этой системы: Тогда производные C₁', C₂', C₃' равны: Интегрируя, находим функции C₁(x), C₂(x), C₃(x): Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения: