Однородные дифференциальные уравнения высшего порядка с переменными коэффициентами

Линейное однородное уравнение n-го порядка имеет вид где коэффициенты a₁(x), a₂(x), ..., a_n(x) являются непрерывными функциями на некотором отрезке [a, b].

Левую часть уравнения можно записать сокращенно, используя линейный дифференциальный оператор L: где L обозначает совокупность операций дифференцирования, умножения на коэффициенты a_i (x) и сложения.

Оператор L является линейным, и, поэтому, обладает следующими свойствами: где y₁(x), y₂(x) − произвольные функции, дифференцируемые n − 1 раз, C − любое число.

Из свойств оператора L следует, что если функции y₁, y₂,..., y_n являются решениями однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то функция вида где C₁, C₂,..., C_n − произвольные постоянные, также будет удовлетворять данному уравнению. Последнее выражение представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения, если указанные функции y₁, y₂,..., y_n образуют фундаментальную систему решений. Совокупность n линейно независимых частных решений y₁, y₂,..., y_n называется фундаментальной системой линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Функции y₁, y₂,..., y_n являются линейно независимыми на отрезке [a, b], если тождество выполняется лишь при условии где числа α₁, α₂,..., α_n одновременно не равны 0.

Для проверки функций на линейную независимость удобно использовать определитель Вронского или вронскиан: Если функции y₁, y₂,..., y_n, дифференцируемые n − 1 раз, являются линейно зависимыми на отрезке [a, b], то выполняется тождество: Соответственно, если эти функции линейно независимые на [a, b], то справедлива формула Фундаментальная система решений однозначно определяет линейное однородное дифференциальное уравнение. В частности, уравнение 3-го порядка записывается по известной фундаментальной системе y₁, y₂, y₃ через определитель в следующем виде: Выражение для дифференциального уравнения n-го порядка записывается аналогично: Пусть функции y₁, y₂,..., y_n образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения n-го порядка. Предположим, что точка x₀ принадлежит отрезку [a, b]. Тогда для определителя Вронского справедлива формула Лиувилля-Остроградского: где a₁ − коэффициент перед производной y^{(n - 1)} в дифференциальном уравнении. Здесь мы считаем, что коэффициент a₀(x) перед y⁽ⁿ⁾ в дифференциальном уравнении равен 1. В противном случае формула Лиувилля-Остроградского принимает вид: Порядок линейного однородного уравнения можно понизить на единицу с помощью подстановки y' = yz. К сожалению, обычно такая подстановка не упрощает решение, поскольку новое уравнение относительно переменной z является нелинейным.

Если известно частное решение y₁, то порядок дифференциального уравнения понижается (при сохранении его линейности) в результате замены В общем случае, если известно k линейно независимых частных решений, то порядок уравнения можно понизить на k единиц.

   Пример 1

Показать, что функции x, sin x, cos x являются линейно независимыми. Составим вронскиан W(x) для данной системы функций: Поскольку определитель Вронского тождественно не равен нулю, то, следовательно, данная система функций линейно независимая.

   Пример 2

Показать, что функции x, x², x³, x⁴ образуют линейно независимую систему. Вычислим соответствующий определитель Вронского: Поскольку определитель тождественно не равен нулю, то данные функции являются линейно независимыми.

   Пример 3

Составить дифференциальное уравнение, фундаментальная система которого образована функциями 1, x², exp(x). Данное уравнение записывается через определитель в виде:

   Пример 4

Найти общее решение уравнения (2x − 3)y''' − (6x − 7)y'' + 4xy' − 4y = 0, если известны частные решения y₁ = exp(x), y₂ = exp(2x). Сделаем замену :  y = y₁z = exp(x)z. Производные будут равны Заметим, что производную n-го порядка от произведения двух функций y₁z можно сразу вычислить по формуле Лейбница: Подставляя производные в уравнение и сокращая на exp(x), имеем После простых преобразований уравнение принимает вид: Полагая z' = u, получаем однородное линейное уравнение второго порядка: Его порядок можно снова понизить на единицу, воспользовавшись известным вторым частным решением y₂ = exp(2x). Этому решению y₂ соответствует функция z₂: Отсюда получаем частное решение u₁: Далее действуем по той же схеме. Сделаем следующую замену: Получаем дифференциальное уравнение для новой переменной v: Обозначим v' = w. Тогда можно записать: Последнее уравнение является уравнением 1-го порядка с разделяющимися переменными. Находим его общее решение: Теперь востановим функцию v, интегрируя полученное выражение для w: Этот интеграл вычисляется по частям: Далее определим функцию u: Выполняя еще одно интегрирование, находим функцию z: Наконец, находим общее решение y(x): где C₁, C₂, C₃, − произвольные числа.