Исследовать процесс почленного дифференцирования ряда Фурье функции
, заданной на интервале
[−π, π].
Решение.
Запишем разложение в ряд Фурье для линейной функции:
В результате формального дифференцирования находим
Как видно, получено противоречие, поскольку ряд Фурье для единицы должен состоять лишь из одного постоянного слагаемого.
Чтобы объяснить этот парадокс, введем
дельта-функцию Дирака δ(x). Так называемое "слабое" определение
δ(x) подразумевает, что
при условии равенства единице полной площади под графиком функции:
Дельта-функцию можно также определить через предел при
n → ∞ следующим образом:
Графики дельта-функции при
n = 5 и
n = 50 показаны на рисунке 2.
|
|
|
Рис.2, n = 5, n = 20
|
|
Рис.3
|
Ряд Фурье для дельта-функции выражается формулой
Он содержит только косинусы, поскольку дельта-функция является четной.
Рассмотрим теперь периодическое продолжение
f1(x) исходной функции
f (x) (рисунок 3). Эта функция имеет разрывы второго рода в точках
. Соответствующая производная
содержит дельта-функцию в каждой точке разрыва, так что справедливо соотношение
где
обозначает 2
π-периодическое продолжение дельта-функции.
Отсюда видно, что
Следовательно, разложение производной
в ряд имеет вид
Таким образом, функция
представляет собой ряд Фурье для числа 1. График этой функции приведен ниже на рисунке 4.