www.Math24.ru
Математический Анализ
Главная
Математический анализ
Пределы и непрерывность
Дифференцирование
Приложения производной
Интегрирование
Последовательности и ряды
Двойные интегралы
Тройные интегралы
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Ряды Фурье
Дифференциальные уравнения
Уравнения 1-го порядка
Уравнения 2-го порядка
Уравнения N-го порядка
Системы уравнений
Формулы и таблицы
   Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье
Дифференцирование рядов Фурье
Пусть f (x) является 2π-периодической кусочно непрерывной функцией, определенной на замкнутом интервале [−π, π]. Для такой функции существует разложение в ряд Фурье:
Если производная f ' (x) данной функции также кусочно непрерывна, а сама функция f (x) удовлетворяет условиям периодичности
то разложение в ряд Фурье производной f ' (x) выражается формулой
Интегрирование рядов Фурье
Пусть g (x) является 2π-периодической кусочно непрерывной функцией в интервале [−π, π]. Ряд Фурье такой функции можно проинтегрировать почленно на заданном интервале.

Разложение функции g (x) в ряд Фурье определяется выражением
Рассмотрим функцию
где .

Полагая x = 0, мы видим, что
Следовательно, разложение в ряд Фурье функции G (x) имеет вид
где ряд в правой части получен формальным почленным интегрированием ряда Фурье функции g (x).

В последнем выражении из-за интегрирования постоянной величины возникло "лишнее" слагаемое, зависящее от x. Поэтому, чтобы сохранить определенную симметрию с разложением в ряд Фурье исходной функции f (x), рассмотрим функцию
Ряд Фурье функции Ф(x) будет определяться выражением
где коэффициенты Фурье связаны соотношениями
   Пример 1
Найти ряд Фурье для функции sign x :
     
если известно, что разложение в ряд Фурье функции F (x) = | x | в интервале [−π, π] имеет вид
     

Решение.
Поскольку для всех x ≠ 0, то получаем
     
или
     
График данной функции и ее аппроксимации рядом Фурье показаны на рисунке 1.
Рис.1, n = 5, n = 50
   Пример 2
Найти ряд Фурье функции , зная, что
     

Решение.
Так как функция f (x) кусочно непрерывна на [−π, π], то можно проинтегрировать почленно ее ряд Фурье. Получим следующее равенство
     
Следовательно,
     
В примере 1 на странице Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля было показано, что . Отсюда находим, что
     
или
     
   Пример 3
Найти ряд Фурье функции , если известно, что
     

Решение.
Интегрируя почленно представленный выше ряд, получаем
     
В последнее выражение можно подставить разложение в ряд Фурье для x из примера 3 раздела Определение ряда Фурье и типичные примеры:
     
Тогда окончательный ответ имеет вид
     
   Пример 4
Исследовать процесс почленного дифференцирования ряда Фурье функции , заданной на интервале [−π, π].

Решение.
Запишем разложение в ряд Фурье для линейной функции:
     
В результате формального дифференцирования находим
     
Как видно, получено противоречие, поскольку ряд Фурье для единицы должен состоять лишь из одного постоянного слагаемого.

Чтобы объяснить этот парадокс, введем дельта-функцию Дирака δ(x). Так называемое "слабое" определение δ(x) подразумевает, что
     
при условии равенства единице полной площади под графиком функции:
     
Дельта-функцию можно также определить через предел при n → ∞ следующим образом:
     
Графики дельта-функции при n = 5 и n = 50 показаны на рисунке 2.
Рис.2, n = 5, n = 20
Рис.3
Ряд Фурье для дельта-функции выражается формулой
     
Он содержит только косинусы, поскольку дельта-функция является четной.

Рассмотрим теперь периодическое продолжение f1(x) исходной функции f (x) (рисунок 3). Эта функция имеет разрывы второго рода в точках . Соответствующая производная содержит дельта-функцию в каждой точке разрыва, так что справедливо соотношение
     
где обозначает 2π-периодическое продолжение дельта-функции.

Отсюда видно, что
     
Следовательно, разложение производной в ряд имеет вид
     
Таким образом, функция представляет собой ряд Фурье для числа 1. График этой функции приведен ниже на рисунке 4.
Рис.4, n = 100

Все права защищены © www.math24.ru, 2009-2014  
Сайт оптимизирован для Chrome, Firefox, Safari и Internet Explorer.