Определение ряда Фурье и типичные примеры

Говорят, что функция f (x) имеет период P, если f (x + P) = f (x) для всех значений x. Пусть период функции f (x) равен 2π. В этом случае достаточно рассмотреть поведение функции в интервале [−π, π].

1. Предположим, что функция f (x) с периодом 2π абсолютно интегрируема в интервале [−π, π]. При этом является конечным так называемый интеграл Дирихле:
   
2. Предположим также, что функция f (x) является однозначной, кусочно-непрерывной (то есть имеет конечное число точек разрыва) и кусочно-монотонной (имеет конечное число максимумов и минимумов).

Если условия 1 и 2 выполнены, то ряд Фурье для функции f (x) существует и сходится к данной функции (Смотрите об условиях сходимости также раздел Сходимость рядов Фурье).

Если x₀ − точка разрыва, то ряд Фурье сходится к значению Ряд Фурье функции f (x) представляется в виде где коэффициенты Фурье a₀, a_n и b_n определяются формулами Иногда используются альтернативные формы записи для разложения в ряд Фурье. Заменяя a_n и b_n новыми переменными d_n и φ_n или d_n и θ_n , где можно, соответственно, записать Разложение в ряд Фурье четной функции f (x) с периодом 2π не содержит синусов и имеет вид где коэффициенты Фурье определяются выражениями Аналогично, разложение в ряд Фурье нечетной функции f (x), имеющей период 2π содержит только синусы и имеет вид где ы b_n равны Ниже мы рассмотрим некоторые типичные примеры разложения функций с периодом 2π в ряд Фурье, предполагая, что такие разложения существуют и сходятся к заданной функции.

   Пример 1

Пусть функция f (x) имеет период 2π и раскладывается в ряд Фурье: Вычислить коэффициенты a₀, a_n и b_n. Чтобы найти a_n, проинтегрируем ряд Фурье в интервале [−π, π]: Для всех n > 0 справедливо Поэтому, все члены в разложении Фурье справа от знака суммы равны нулю, что приводит к соотношению Чтобы определить коэффициенты a_n при m > 0, умножим обе части разложения в ряд Фурье на cos mx и проинтегрируем почленно: Первое слагаемое в правой части равно нулю. Тогда, используя тригонометрические тождества, можно записать если m ≠ n.

В случае, если m = n, получаем Таким образом, Аналогично, умножая ряд Фурье на sin mx и интегрируя почленно, получим выражение для b_m: Переписывая формулы для a_n, b_n, запишем окончательные выражения для коэффициентов Фурье:

   Пример 2

Найти разложение в ряд Фурье прямоугольной функции с периодом 2π, определенной в интервале [−π, π]: Вычислим сначала a₀: Определим теперь коэффициенты Фурье при n ≠ 0: Поскольку , то можно записать Таким образом, разложение в ряд Фурье для прямоугольной функции имеет вид Можно легко вычислить несколько первых членов разложения. Полагая, например, n = 5, получаем На рисунке 1 представлены график данной функции и ее аппроксимация рядом Фурье при n = 10.

   Пример 3

Найти разложение в ряд Фурье для пилообразной функции, определенной в интервале [−π, π] и имеющей период 2π. Определим коэффициенты Фурье для пилообразной волны.
Поскольку функция нечетная (рисунок 2), то a₀ = a_n = 0. Для вычисления последнего интеграла используем формулу интегрирования по частям: Пусть . Тогда , и интеграл будет равен Подставляя и для всех натуральных значений n, получаем Следовательно, разложение в ряд Фурье прилообразной волны имеет вид (рисунок 2 выше)

   Пример 4

Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции. Так как функция четная, то коэффициенты b_n = 0. Тогда Применим дважды интегрирование по частям. Поскольку и для натуральных n, то получаем Тогда разложение параболической функции в ряд Фурье имеет вид (рисунок 3)

   Пример 5

Найти ряд Фурье для треугольной волны определенной в интервале [−π, π]. Постоянная a₀ равна Вычислим коэффициенты a_n: Интегрируя по частям, можно записать Тогда Значения sin nx при x = 0 или x = ± π равны нулю. Поэтому Если n = 2k, то . Если n = 2k + 1, то
Так как функция f (x) четная, то коэффициенты Фурье b_n равны нулю. Таким образом, окончательное разложение треугольной волны в ряд Фурье выглядит следующим образом (см. рис.4 выше):

   Пример 6

Найти разложение в ряд Фурье для функции заданной в интервале [−π, π]. Найдем сначала a₀: Далее вычислим коэффициенты a_n: Заметим, что Поскольку cos (n − 1)π = (−1)^{n −1}, то для коэффициентов a_n получаем выражение Видно, что a_n = 0 для нечетных n. Для четных n, когда n = 2k (k = 1,2,3,...), мы имеем Вычислим теперь коэффициенты b_n. Начнем с b₁: Остальные коэффициенты b_n при n > 1 равны нулю. Действительно, Таким образом, формула разложения заданной функции в ряд Фурье имеет вид График функции и варианты разложения для n = 2 и n = 8 показаны на рисунке 5.

   Пример 7

Найти ряд Фурье для функции определенной в интервале [−π, π]. Вычислим коэффициенты a_n: (Этот результат очевиден, поскольку заданная функция − нечетная.)

Определим коэффициенты разложения b_n: Таким образом, разложение в ряд Фурье определяется формулой На рисунке 6 (выше) представлен график исходной прямоугольной функции и ее Фурье аппроксимации при n = 10.