Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля

Рассмотрим кусочно непрерывную функцию f (x), заданную в интервале [−π, π]. Ее разложение в ряд Фурье имеет вид В неравенстве Бесселя устанавливается, что Отсюда следует, что ряд сходится. Если f (x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале [−π, π], так что выполняется соотношение то неравенство Бесселя становится равенством. В этом случае справедлива формула Парсеваля: Снова предположим, что f (x) является квадратично интегрируемой функцией в интервале [−π, π]. Пусть c_n − ее комплексные коэффициенты Фурье, то есть где Тогда формула Парсеваля записывается в виде Заметим, что энергия 2π-периодической волны f (x) равна

   Пример 1

Вычислить сумму ряда . Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x. Разложение в ряд Фурье функции f (x) = x в интервале [−π, π] имеет вид (Смотрите пример 3 на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры.)

Здесь коэффициенты Фурье имеют следующие значения: (поскольку функция f (x) = x нечетная) и . Используя формулу Парсеваля. получаем Отметим, что называется дзета-функцией Римана ζ (s). Таким образом, мы доказали, что .

   Пример 2

Применить формулу Парсеваля к функции . В примере 4 на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры было найдено разложение функции в ряд Фурье в интервале [−π, π]: где Записывая равенство Парсеваля для этой функции, получаем Ряд известен как дзета-функция Римана ζ (s). Следовательно,

   Пример 3

Применяя формулу Парсеваля к функции найти суммы рядов . Разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид (попробуйте найти это самостоятельно): Коэффициенты Фурье в этом разложении равны Применяя к данной функции равенство Парсеваля получаем Несложно также найти и сумму ряда : Здесь (смотрите пример 1 выше). Следовательно,

   Пример 4

Вычислить сумму ряда . В предыдущей задаче было найдено, что Полагая , получаем Можно заметить, что Следовательно, Тогда сумма ряда равна