Производная показательной и логарифмической функций

На странице Определение производной мы вывели формулы производной экспоненциальной функции  y = e ^x  и функции натурального логарифма  y = ln x.  Ниже мы рассмотрим показательную и логарифмическую функцию с произвольным основанием и получим выражения для их производных. Начнем с производной логарифмической функции  y = log_a x,  где основание a больше нуля и не равно единице:  a > 0,  a ≠ 1. Согласно определению производной, дадим аргументу x приращение Δx > 0, причем предположим, что x + Δx > 0. Логарифмическая функция получит соответствующее приращение Δy, равное Разделим обе части равенства на Δx: Обозначим . Тогда последнее соотношение можно переписать в виде Используя свойство логарифма степенной функции, получаем: Полагая Δx → 0 (в этом случае h → ∞), находим предел отношения приращений, т.е. производную логарифмической функции: Здесь мы использовали свойство предела от сложной функции, учитывая, что логарифмическая функция является непрерывной. Предел в квадратных скобках равен знаменитому числу e, которое приблизительно составляет 2.718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого): Следовательно, производная логарифмической функции имеет вид По формуле перехода к новому основанию логарифма, имеем: Таким образом, В случае  a = e  мы получаем натуральный логарифм, производная которого выражается формулой  (ln x)' = 1/x. 

Отметим еще один важный частный случай − производную десятичного логарифма: где число M равно  M = lg e = 0.43429...  Поскольку показательная функция с основанием  a (a > 0, a ≠ 1)  и логарифмическая функция с тем же основанием образуют пару взаимно-обратных функций, то производную показательной функции можно найти с помощью теоремы о производной обратной функции.

Пусть дана пара взаимно-обратных функций  y = f (x) = a ^x  и  x = φ(y) = log_a y.  Тогда В частном случае  a = e  производная равна самой функции: В примерах, приведенных ниже, найти производную заданной функции.

   Пример 1

Дифференцируем как частное двух функций: где x > 0.

   Пример 2

Дифференцируя данную показательную функцию как сложную, находим

   Пример 3

Используя правила дифференцирования произведения функций и разности функций, получаем:

   Пример 4

Дифференцируя как сложную функцию, имеем Данная функция определена при условии

   Пример 5

   Пример 6

Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования сложной функции, получаем В данном примере функция определена при x > 0.

   Пример 7

   Пример 8

По правилу дифференцирования сложной функции находим Упрощаем: Применив формулу двойного угла , получаем окончательный ответ

   Пример 9

Сначала возьмем производную от произведения функций: Дифференцируя отдельные члены и упрощая, получаем:

   Пример 10

Дифференцируя как сложную функцию и упрощая, получаем следующее выражение для производной: Отметим, что заданная функция существует при x > 0.

   Пример 11

Используя правила дифференцирования произведения двух функций и сложной функции, получаем: Можно предложить и более простой способ вычисления производной, предварительно упростив заданную функцию. Запишем ее в виде Тогда производная равна

   Пример 12

По формуле производной частного двух функций находим:

   Пример 13

Здесь в числителе и знаменателе находятся, соответственно, степенная и показательная функции. Используя правило дифференцирования частного, получаем:

   Пример 14

Используем формулы производной сложной функции и производной частного. После небольших преобразований получаем вполне "приличный" ответ.

   Пример 15

Дважды применяем правило дифференцирования сложной функции: Область определения данной функции и производной имеет следующий вид:

   Пример 16

Дифференцируя дважды как сложную функцию, получаем Найдем область определения заданной функции и ее производной. Соответствующая система неравенств записывается в виде

   Пример 17

По формуле производной частного находим: где x ≠ 0.

   Пример 18

Показать, что функция  y = e ^x(sin 2x + cos 2x)  является решением дифференциального уравнения Вычислим производные y' и y'': Подставляем производные и саму функцию в уравнение: Следовательно, данная функция является решением дифференциального уравнения.

   Пример 19

Показать, что функция  y = e^−2x(sin 3x + cos 3x)  является решением дифференциального уравнения Найдем первую и вторую производные заданной функции: Подставляем производные и функцию в уравнение: Как видно, указанная функция является решением дифференциального уравнения.

   Пример 20

Рассмотрим область определения заданной функции: Случай, описываемый первой системой неравенств, имеет решение в виде Во втором случае система неравенств является несовместной. Таким образом, область определения представляется в виде