Число е

Число e выражается через предел следующим образом: Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку , где , получим альтернативную формулу для данного предела: Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

   Пример 1

Вычислить предел .

   Пример 2

Вычислить предел . Учитывая, что предел произведения нескольких функций равен произведению пределов от этих функций, получаем

   Пример 3

Вычислить предел . Сделаем замену: , так что x = 6y и y → ∞, если x → ∞. В результате получаем

   Пример 4

Вычислить предел .

   Пример 5

Вычислить предел . Сначала преобразуем основание функции: Введем новую переменную: . Если , то и В результате замены получаем

   Пример 6

Вычислить предел . Предварительно преобразуем основание: Пусть . Тогда Теперь можно найти предел:

   Пример 7

Вычислить предел . Преобразуем предел следующим образом: Сделаем замену: Здесь y → 0 когда x → ∞. Тогда предел равен

   Пример 8

Найти предел . Пусть . Легко видеть, что при . Тогда Сделаем еще одну замену: Следовательно, предел равен:

   Пример 9

Найти предел . Данный предел можно представить в следующей форме: После взятия логарифма получаем Заметим, что . Кроме того, при , поэтому предельный переход во втором пределе можно заменить на . Это приводит к следующему выражению: Учитывая, что , получаем Следовательно, .

   Пример 10

Найти предел . Перепишем предел в следующем виде: Прологарифмируем левую и правую части полученного выражения. Видно, что . Тогда второй предел равен e. В результате получаем Окончательный ответ: .