Замена переменных в тройных интегралах

Математический Анализ

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;
Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;
Якобиан преобразования I (u,v,w), равный
отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении

означает абсолютное значение якобиана.

Для вычисления тройных интегралов часто используются цилиндрические и сферические координаты. Эти случаи рассматриваются подробно на страницах

Ниже приводятся примеры вычисления интегралов с использованием других преобразований координат.

Найти объем области U, заданной неравенствами

Решение.

Очевидно, что данная область является наклонным параллелепипедом. Удобно сделать такую замену переменных, при которой наклонный параллелепипед преобразуется в прямоугольный. В этом случае тройной интеграл сразу распадается на произведение трех однократных интегралов.

Сделаем следующую замену:

Область интегрирования U' в новых переменных u, v, w ограничена неравенствами

Объем тела равен

Вычислим якобиан данного преобразования. Чтобы не выражать старые переменные x, y, z через новые u, v, w, найдем сначала якобиан обратного преобразования:

Тогда

Следовательно, объем тела равен

Найти объем наклонного параллелепипеда, заданного неравенствами

Решение.

Введем новые переменные

Вычислим якобиан обратного преобразования:

Раскладывая определитель по третьей строке, находим его значение:

Тогда модуль якобиана прямого преобразования равен

Теперь легко вычислить объем тела: