Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где
Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид: Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем Соответственно, абсолютное значение якобиана равно Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид: Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x² + y² + z²).

Иногда выгодно использовать т.н. обощенные сферические координаты, связанные с декартовыми формулами В этом случае якобиан равен

   Пример 1

Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x² + y² + z² = 25. Поскольку область U представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от f (x² + y² + z²), то перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену: Новые переменные изменяются в пределах: Учитывая якобиан ρ²sin θ, записываем интеграл в виде:

   Пример 2

Вычислить интеграл где область U представляет собой единичный шар x² + y² + z² ≤ 1. Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования U описывается неравенствами Записывая интеграл в сферических координатах, получаем Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим

   Пример 3

Вычислить интеграл xyzdxdydz, где область U представляет собой часть шара x² + y² + z² ≤ R², расположенную в первом октанте x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. Перейдем к сферическим координатам. Сделаем замену переменных: Новые переменные будут изменяться в пределах: Тогда интеграл в сферических координатах равен

   Пример 4

Найти тройной интеграл где область U ограничена эллипсоидом Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: Модуль якобиана данного преобразования равен |I| = abcρ²sin θ. Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение В новых координатах интеграл принимает вид: В данной системе координат область интегрирования U' (являющаяся эллипсоидом) определяется неравенствами Тогда тройной интеграл становится равным

   Пример 5

Вычислить интеграл используя сферические координаты Область интегрирования представляет собой часть шара, расположенная в первом октанте (рисунки 2,3), и, следовательно, ограничена неравенствами Учитывая, что подынтегральное выражение равно а дифференциалы связаны соотношениями получаем