Асимптоты

Асимптотой кривой y = f(x), имеющей бесконечную ветвь, называется прямая, расстояние которой от точки (x, f(x)), лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном движении вдоль ветви к бесконечности.

Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными. Горизонтальную асимптоту часто рассматривают как частный случай наклонной асимптоты. Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f(x), если выполнено хотя бы одно из условий: Другими словами, хотя бы один из односторонних пределов в точке x = a должен быть равен бесконечности.

Вертикальная асимптота часто встречается у дробно-рациональных функций в точках, где знаменатель равен нулю, а числитель не равен нулю (т.е. в точках разрыва второго рода). Например, график функции y = 1/x имеет вертикальную асимптоту x = 0 (рисунок 1). В данном случае оба односторонних предела (слева и справа) стремятся к бесконечности: Функции, которые являются непрерывными на всем множестве действительных чисел, вертикальных асимптот не имеют. Прямая  y = kx + b  называется наклонной асимптотой графика функции  y = f(x)  при  x → +∞  (рисунок 2), если Аналогично вводится понятие наклонной асимптоты при  x → −∞. 

Наклонные асимптоты графика функции  y = f(x)  могут быть разными при  x → +∞  и  x → −∞.  Поэтому при нахождении наклонных (или горизонтальных) асимптот оба случая следует рассматривать отдельно.

Коэффициенты k и b наклонной асимптоты  y = kx + b  определяются с помощью следующей теоремы:

Для того, чтобы прямая  y = kx + b  была асимптотой графика функции  y = f(x)  при  x → +∞,  необходимо и достаточно, чтобы существовали два конечных предела: Доказательство.
Необходимость. Пусть прямая  y = kx + b  является асимптотой графика функции  y = f(x)  при  x → +∞.  Тогда выполняется условие или равносильное соотношение Разделив обе части последнего равенства на x, получаем: Следовательно, в пределе при  x → +∞  имеем: Достаточность. Пусть существуют конечные пределы: Второй предел можно записать в виде что соответствует определению наклонной асимптоты. Таким образом, прямая  y = kx + b  − асимптота графика функции  y = f(x). 

Замечание: Аналогично доказывается теорема для случая  x → −∞.  В частном случае, если k = 0, мы получаем горизонтальную асимптоту, которая описывается уравнением y = b. Теорема о необходимых и достаточных условиях существования горизонтальной асимптоты формулируется таким образом:

Для того, чтобы прямая  y = b  была асимптотой графика функции  y = f(x)  при  x → +∞,  необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел: Точно также рассматривается случай  x → −∞.  Пусть плоская кривая задана параметрическими уравнениями Данная линия имеет вертикальную асимптоту  x = a  при  t → t₁,  если выполняются условия Аналогично, параметрически заданная линия имеет горизонтальную асимптоту  y = b  при  t → t₂,  если выполняются следующие соотношения: Здесь a и b являются конечными величинами.

Параметрически заданная кривая имеет наклонную асимптоту  y = kx + b  при  t → t₃,  если при этом значении t оба предела равны бесконечности: а коэффициенты k и b имеют конечные значения: Рассмотрим кривую, заданную в полярных координатах уравнением Ее асимптоту (если она существует) можно описать с помощью двух параметров − расстояния p от центра до асимптоты (отрезок OA на рисунке 3) и угла α наклона асимптоты к полярной оси.

Указанные параметры p и α определяются формулами: Замечания:

1. В последней формуле предельный переход  ρ → ∞  можно заменить на эквивалентное условие  φ → α; 
   
2. Параметр p может принимать как положительное, так и отрицательное значение.

Неявно заданная алгебраическая кривая описывается уравнением где левая часть представляет собой многочлен относительно переменных x и y.

В дифференциальной геометрии используется следующий метод нахождения наклонной асимптоты алгебраической кривой. Пусть асимптота описывается уравнением  y = kx + b.  Подставляя это выражение для y в уравнение кривой, получаем алгебраическое уравнение относительно одной переменной x: где коэффициенты A_i зависят от параметров асимптоты k и b (причем коэффициент A₀ зависит лишь от k). Значения k и b определяются из условия: Для нахождения вертикальной асимптоты нужно подставить ее уравнение x = a в уравнение кривой и преобразовать последнее к виду: Необходимым условием существования вертикальной асимптоты является отсутствие в последнем уравнении старшего члена  B₀ yⁿ. Значение параметра a определяется из условия Приведенные формулы для асимптот неявно заданных кривых справедливы, если кривая не имеет особых точек на бесконечности.

   Пример 1

Найти асимптоты графика функции При x = −1 функция имеет разрыв второго рода. Действительно: Следовательно, x = −1 − уравнение вертикальной асимптоты.

Найдем горизонтальную асимптоту. Вычислим предел: Таким образом у кривой существует горизонтальная асимптота, и ее уравнение имеет вид  y = 1.

Наклонные асимптоты отсутствуют. Это можно проверить, вычислив коэффициенты k и b: Видно, что на самом деле мы получили горизонтальную асимптоту, которая уже была определена выше.

Окончательный ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту x = −1 и горизонтальную асимптоту y = 1 (рисунок 4).

   Пример 2

Найти асимптоты графика функции Вычислим односторонние пределы в точке x = 1: Пределы равны бесконечности. Следовательно, x = 1 является вертикальной асимптотой для заданной кривой.

Исследуем наклонные асимптоты: Отсюда видно, что существует не наклонная, а горизонтальная асимптота при  x → ±∞.  Ее уравнение имеет вид y = 0, т.е. асимптотой является ось абсцисс.

График функции и его асимптоты приведены на рисунке 5.

   Пример 3

Найти асимптоты графика функции Ясно, что прямая x = 1 является вертикальной асимптотой, поскольку в этой точке функция имеет разрыв и выполняются соотношения Запишем функцию в виде где  α(x) → 0  при  x → ±∞.

Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту  y = 3x + 1.

Заметим, что дробно-рациональная функция может иметь наклонную асимптоту, если степень числителя на единицу больше степени знаменателя. Схематический вид данной кривой приведен выше на рисунке 6.

   Пример 4

Найти асимптоты графика функции Данная функция непрерывна на всем множестве действительных чисел. Поэтому у нее нет вертикальных асимптот. Исследуем наклонные асимптоты: Функция арктангенс ограничена в интервале (−π/2, π/2). Поэтому в последнем выражении предел при x → ±∞  равен нулю. Следовательно, k = 1, причем это значение одинаково при стремлении к плюс- или минус-бесконечности. Вычислим коэффициент b отдельно для случая  x → −∞  и  x → +∞:  Таким образом, найдено две наклонных асимптоты (одна для случая  x → −∞  и другая для  x → +∞). Их уравнения имеют такой вид: Схематический вид функции и ее асимптот показан на рисунке 7.

   Пример 5

Найти асимптоты графика функции Функция имеет разрыв второго рода при x = 1. Так как то  x = 1  является вертикальной асимптотой.

Поскольку порядок роста числителя и знаменателя одинаков, то график имеет также горизонтальную асимптоту. В пределе при  x → +∞  получаем Аналогично, предел функции при  x → −∞  равен Таким образом, при  x → +∞  график функции имеет горизонтальную асимптоту y = 1, а при  x → −∞  − асимптоту y = −1. Схематически график функции показан на рисунке 8.

   Пример 6

Найти асимптоты линии, заданной параметрическими уравнениями Исследуем точку t = 2. Вычислим пределы функций  x = φ(t)  и  y = ψ(t)  при  t → 2: Итак, при  t → 2  координата x стремится к бесконечности, а координата y − к конечному значению y = 2. Следовательно, в этой точке существует горизонтальная асимптота y = 2.

Аналогично рассмотрим точку t = 1, в которой терпит разрыв функция y(t): Здесь мы имеем вертикальную асимптоту x = −1.

Из вида функции  x = φ(t)  следует, что  t → 2 − единственное значение параметра t, при котором координата x стремится к бесконечности. Отсюда следует, что кривая не имеет наклонных асимптот.

Итак, данная кривая имеет горизонтальную асимптоту y = 2 и вертикальную асимптоту x = −1. Ее схематический вид представлен на рисунке 9.

   Пример 7

Найти асимптоты линии, заданной параметрическими уравнениями При t = ±1 знаменатели в выражениях для x и y равны нулю. Поэтому при этих значениях t имеем: Следовательно, при t = −1 и t = 1 могут существовать наклонные асимптоты. Исследуем сначала точку t = −1: Таким образом, при t = −1 существует наклонная асимптота, уравнение которой имет вид: Аналогично найдем уравнение асимптоты в точке t = 1: Итак, в указанной точке существует асимптота. Ее уравнение записывается как Других значений t, при которых координаты x и y стремятся в бесконечность, не существует. Следовательно, у кривой нет других асимптот.

Данная линия состоит из двух ветвей, причем нижняя ветвь не определена при x = 0 (когда t → ±∞). Вид кривой показан схематически на рисунке 10.

   Пример 8

Найти асимптоты гиперболической спирали, заданной уравнением Выразим угол φ через радиус ρ: Асимптота в полярных координатах определяется параметрами α и p. Вычислим сначала угол α: т.е. асимптота (если она существует) расположена горизонтально. Определим параметр p: Здесь мы учли, что первый замечательный предел равен 1.

Следовательно, у гиперболической спирали существует горизонтальная асимптота с параметрами α = 0, p = −a. В декартовых координатах ее уравнение имеет вид y = a (рисунок 11).

   Пример 9

Найти асимптоты кривой, заданной в полярных координатах: Выразим из уравнения обратную зависимость φ(ρ): Асимптота в полярных координатах определяется двумя параметрами: углом α и расстоянием p от центра до асимптоты. Угол α вычисляется по формуле: Параметр p, соответственно, равен: Используем далее следующее соотношение: Тогда Следовательно, параметр p равен: Итак, мы получили два значения параметра p: p = +a и p = −a, т.е. существуют две асимптоты. Поскольку угол α у обеих асимптот одинаков и равен π/2, то обе асимптоты являются вертикальными. В таком случае p − это расстояние от центра до асимптоты вдоль оси x. Тогда в декартовых координатах уравнения асимптот выглядят как x = a и x = −a. Схематически это изображено на рисунке 12.

   Пример 10

Найти асимптоты декартова листа, заданного уравнением Исследуем сначала наклонные асимптоты данной кривой. Запишем неявное уравнение в виде Подставляя уравнение асимптоты  y = kx + b,  получаем: Приравнивая коэффициенты при двух старших членах нулю, находим параметры асимптоты k и b: Таким образом, декартов лист имеет наклонную асимптоту (рисунок 13), которая описывается уравнением  y = −x − a.

Проверим возможность существования вертикальной асимптоты. Пусть ее уравнение записывается как  y = с. Подставим это в исходное неявное уравнение кривой: Заметим, что в последнем равенстве присутствует слагаемое в старшей степени y³. Это означает, что необходимое условие существования вертикальной асимптоты не выполняется. Следовательно, декартов лист имеет лишь наклонную асимптоту, найденную выше.

   Пример 11

Найти асимптоты циссоиды Диокла, заданной уравнением Исследуем наклонные асимптоты. Подставим  y = kx + b  в заданное уравнение: Параметры k и b наклонной асимптоты определяются из условия Однако из первого уравнения видно, что k не имеет действительных решений: Следовательно, наклонной асимптоты у циссоиды не существует.

Рассмотрим вертикальную асимптоту. Подставляя  x = c  в исходное уравнение, получаем: Заметим, что циссоида является кривой третьего порядка. При этом в последнем соотношении отсутствует член третьей степени. В таком случае вертикальная асимптота существует и ее параметр c определяется из условия Итак, циссоида Диокла имеет одну вертикальную асимптоту  x = 2a  (рисунок 14).

Замечание. Уравнение циссоиды допускает запись в явной форме: откуда сразу следует, что в точке  x = 2a  существует разрыв второго рода, и следовательно, прямая  x = 2a  является вертикальной асимптотой.

   Пример 12

Доказать, что функции асимптотически равны друг другу при  x → +∞.  Вычислить погрешность приближенного равенства f(100) ≈ g(100). Определим наклонные асимптоты обеих функций. Для функции f(x) получаем: Таким образом, уравнение наклонной асимптоты для первой функции f(x) записывается как Рассмотрим функцию g(x) и вычислим для нее коэффициенты наклонной асимптоты: Следовательно, уравнение асимптоты для g(x) имеет такой же вид как и для f(x): Таким образом, обе функции f(x) и g(x) являются асимптотически равными при  x → +∞.  Вычислим их значения при x = 100 : Относительная ошибка приближенного равенства f(100) ≈ g(100) при x = 100 составляет примерно 5⋅10⁻⁵.