Тригонометрические пределы

Основной тригонометрический предел (первый замечательный предел) имеет вид Используя данный предел, можно получить ряд других тригонометрических пределов: Здесь и далее предполагается, что углы измеряются в радианах.

   Пример 1

Вычислить предел . Так как , то

   Пример 2

Вычислить предел . Преобразуем числитель в произведение: В результате получаем

   Пример 3

Вычислить предел . Используем следующее тригонометрическое тождество: Получаем Поскольку cos 4x является непрерывной функцией при x = 0, то

   Пример 4

Вычислить предел . Используя формулу преобразуем данный предел следующим образом: Здесь sin (−a) является константой, не зависящей от x. Поэтому,

   Пример 5

Вычислить предел . Очевидно, что Тогда

   Пример 6

Найти предел . Используя формулу преобразуем предел: Заменим переменную: . Если , то Тогда

   Пример 7

Найти предел . Выполним следующие преобразования: Поскольку , то предел равен Здесь Следовательно, Учитывая, что при , получаем окончательный ответ

   Пример 8

Найти предел . Сделаем подстановку: . Если , то . Тогда

   Пример 9

Найти предел . Используем тригонометрическую формулу Тогда предел можно преобразовать следующим образом: Здесь мы учли, что предел остается неизменным при замене предельного перехода на .

   Пример 10

Найти предел . Используя тождество , получаем Очевидно, что в последнем выражении предел равен 1 и при . В результате получаем ответ