Тройные интегралы в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z₁(x,y), а сверху - поверхностью z = z₂(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z₁(x,y) и z₂(x,y) непрерывны в области D. Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y.

Если область D(x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями где f₁(x), f₂(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f₁(x) ≤ f₂(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем В другом случае, когда область D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями где φ₁(y), φ₂(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ₁(y) ≤ φ₂(y), тройной интеграл представляется в виде Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному.

В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед , тройной интеграл вычисляется по формуле Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.

   Пример 1

Вычислить интеграл Найдем последовательно все три интеграла:

   Пример 2

Вычислить интеграл где область U расположена в первом октанте ниже плоскости 3x + 2y + z = 6. Записывая уравнение плоскости 3x + 2y + z = 6 в отрезках: изобразим область интегрирования U (рисунок 3). Пределы интегрирования по z изменяются от z = 0 до z = 6 − 3x − 2y. Рассматривая проекцию D в плоскости Oxy, находим, что переменная y изменяется от y = 0 до (рисунок 4). При этом переменная x "пробегает" от 0 до 2.

Итак, тройной интеграл выражается через повторный в виде Вычисляем последовательно все три интеграла и находим ответ:

   Пример 3

Вычислить тройной интеграл где область U (рисунок 5) ограничена поверхностями Проекция области U на плоскость Оxy имеет вид, показанный на рисунке 6. Учитывая это, найдем соответствующие повторные интегралы:

   Пример 4

Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами. Область U расположена в первом октанте и ограничена цилиндром x² + z² = 4 и плоскостью y = 3 (рисунок 7). Найти значение интеграла. Если порядок интегрирования имеет вид "z-y-x", то повторный интеграл выглядит как Аналогично записывается повторный интеграл для последовательности интегрирования "z-x-y": Теперь рассмотрим случай "x-y-z", т.е. когда первый внутренний интеграл берется по переменной x.
Тогда Поскольку проекция тела на плоскость Oyz представляет собой прямоугольник (рисунок 8), то меняя порядок интегрирования по y и z, получаем Наконец повторный интеграл при интегрировании в порядке "y-x-z" (начиная с внутреннего интеграла) имеет вид: Последний шестой вариант записывается в виде: Мы можем использовать любой из шести повторных интегралов чтобы вычислить значение тройного интеграла. Например, используя последний интеграл, получаем: Сделаем замену: Находим окончательный ответ: Нетрудно проверить, что данное значение в точности равно 1/4 объема цилиндра, по которому проводилось интегрирование.