Повторные интегралы

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Определение 1. Говорят, что область R на плоскости относится к типу I или является элементарной относительно оси Oy, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от x (рисунок 1), и описывается множеством: Определение 2. Говорят, что область R на плоскости относится к типу II или является элементарной относительно оси Ox, если она лежит между графиками двух непрерывных функций, зависящих от y (рисунок 2), и описывается множеством: Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа I: Тогда двойной интеграл от функции f (x,y) в данной области выражается через повторный интеграл в виде Для области интегрирования типа II существует аналогичная формула. Если f (x,y) является непрерывной функцией в области R типа II: то справедливо соотношение Приведенные формулы (в англоязычной литературе они известны как теорема Фубини) позволяют вычислять двойные интегралы через повторные. В повторных интегралах сначала находится внутренний интеграл, а затем - внешний.

   Пример 1

Найти повторный интеграл . Сначала вычислим внутренний интеграл и затем внешний.

   Пример 2

Найти повторный интеграл . Здесь область интегрирования относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox). Вычисляя сначала внутренний интеграл по x, и затем внешний по y, получаем

   Пример 3

Вычислить . Запишем повторный интеграл в виде Чтобы найти внутренний интеграл в квадратных скобках, сделаем замену: Если , то , и, соответственно, если , то . Тогда

   Пример 4

Вычислить . Вычисляя внутренний интеграл, получаем Далее используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда Подставляя это, получаем Наконец вычислим последний интеграл: Окончательный ответ:

   Пример 5

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле . Область интегрирования относится к типу I (рисунок 3). Она представляет собой треугольник, ограниченный прямыми или и или . Переменная x изменяется в интервале . Изменяя порядок интегрирования, исходный интеграл можно записать в виде суммы следующих двух повторных интегралов: