Тригонометрические и гиперболические подстановки

В данной секции мы рассмотрим вычисление интегралов вида , где R - рациональная функция x и квадратного корня .

Предварительно преобразуем квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат: Выполнив замену , мы получим один из следующих 3 интегралов в зависимости от значений коэффициентов a, b и с: Каждый из этих трех интегралов вычисляется с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.

Тригонометрическая подстановка: Тригонометрическая подстановка: Гиперболическая подстановка: Тригонометрическая подстановка: Гиперболическая подстановка: Примечания:

   Пример 1

Вычислить интеграл . Сделаем подстановку Получаем Здесь для упрощения интеграла мы использовали формулу .

   Пример 2

Вычислить интеграл . Применим гиперболическую подстановку x = a sh t, dx = a ch tdt. Поскольку , интеграл равен

   Пример 3

Вычислить интеграл . Для нахождения этого интеграла используем замену . Применив соотношение , получаем Выразим sin t через x: Следовательно, интеграл равен

   Пример 4

Вычислить интеграл . Сделаем следующую подстановку: . Следовательно, Тогда интеграл равен Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношений находим ответ:

   Пример 5

Вычислить интеграл . Используем тригонометрическую подстановку x = a sec t, dx = a tg t sec tdt. Вычислим интеграл, применив соотношение . Поскольку то получаем интеграл, выраженный через исходную переменную x:

   Пример 6

Найти интеграл . Предварительно преобразуем интеграл. Сделаем подстановку Теперь вычисляем интеграл:

   Пример 7

Найти интеграл . Используем здесь (для разнообразия) гиперболическую подстановку: . Так как , то интеграл записывается в виде Понизим степень подынтегральной функции с помощью формулы двойного угла . Тогда

   Пример 8

Вычислить интеграл . Сначала выделим полный квадрат в выражении под корнем. Теперь, используя подстановку и соотношение , находим интеграл Интеграл вычислен в примере 9 на странице Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций . Окончательный ответ равен

   Пример 9

Найти интеграл . Применим подстановку Тогда Выразим и через x: Таким образом,

   Пример 10

Вычислить интеграл . Применив тригонометрическую подстановку , получаем Теперь сделаем замену . Интеграл примет вид Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для вычисления интегралов. Определим коэффициенты. Тогда Следовательно, подынтегральное выражение записывается в виде Вычислим исходный интеграл. Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношения находим окончательный ответ: