Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.

Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность: Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:

1. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .
   
   
2. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .
   
   
3. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла
   
   чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).
   

Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помошью тригонометрического соотношения и формулы редукции Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции: Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы

1. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.
   
   
2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.
   
   
3. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.
   

1. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множитель отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.
   
   
2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.
   
   
3. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.
   

   Пример 1

Вычислить интеграл . Пусть u = cos x, du = − sin xdx. Тогда

   Пример 2

Вычислить . Делая замену u = sin x, du = cos xdx и используя соотношение , получаем

   Пример 3

Вычислить интеграл . Применив соотношения и , можно записать Вычислим интегралы в полученном выражении. Чтобы найти интеграл , сделаем замену u = sin 2x, du = 2cos 2xdx. Тогда Следовательно, исходный интеграл равен

   Пример 4

Найти интеграл . Перепишем интеграл в виде Преобразуем подынтегральное выражение с помощью соотношений Получаем

   Пример 5

Найти интеграл . Делая замену u = cos x, du = − sin xdx и выражая синус через косинус с помощью формулы , получаем

   Пример 6

Вычислить интеграл . Преобразуем подынтегральное соотношение по формуле Следовательно, Тогда интеграл равен

   Пример 7

Вычислить интеграл . Используем для преобразования интеграла соотношение . Получаем

   Пример 8

Вычислить интеграл . Используя соотношение , находим

   Пример 9

Вычислить . Используем формулу редукции Следовательно, Интеграл является табличным и равен . (Он легко вычисляется с помощью универсальной тригонометрической подстановки .) В результате интеграл равен

   Пример 10

Вычислить интеграл . Применяя к подынтегральной функции формулу редукции получим

   Пример 11

Найти интеграл .

   Пример 12

Найти интеграл . Выразим тангенс через секанс с помощью соотношения . Тогда интеграл принимает вид Поскольку (см. пример 9), а интеграл является табличным и равен , то получаем окончательный ответ в виде