Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде где F − заданная функция указанных аргументов.

Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной y'', то его можно представить в следующем явном виде: В частных случаях функция f в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя 5 различных типов: С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.

В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим 2 типа таких уравнений (случаи 6 и 7):

• Функция F(x, y, y', y'') является однородной функцией аргументов y, y', y'';
• 
  
• Функция F(x, y, y', y'') является точной производной функции первого порядка Ф(x, y, y').

Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно. Если дано уравнение y'' = f(x), то его порядок можно понизить введением новой функции p(x), такой, что y' = p(x). В результате мы получим дифференциальное уравнение первого порядка Решая его, находим функцию p(x). Затем решаем второе уравнение и получаем общее решение исходного уравнения. Здесь правая часть уравнения зависит только от переменной y. Вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Тогда можно записать: и уравнение принимает вид: Решая его, находим функцию p(y). Затем находим решение уравнения y' = p(y), то есть функцию y(x). В данном случае для понижения порядка вводим функцию y' = p(x) и получаем уравнение которое является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными p и x. Интегрируя, находим функцию p(x) и затем функцию y(x). Используем подстановку y' = p(x), где p(x) − новая неизвестная функция, и получаем уравнение первого порядка Интегрируя, определяем функцию p(x). Далее решаем еще одно уравнение 1-го порядка и находим общее решение y(x). Для решения такого уравнения, также как и в случае 2, вводим новую функцию p(y), полагая y' = p(y). Дифференцирование этого равенства по x приводит к уравнению В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения 1-го порядка Решая его, находим функцию p(y). Затем решаем еще одно уравнение первого порядка и определяем общее решение y(x).


Рассмотренные 5 случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай 2 следует из случая 5, а случай 3 вытекает из более общего случая 4. Если левая часть дифференциального уравнения удовлетворяет условию однородности, т.е. для любого k справедливо соотношение то порядок уравнения можно понизить с помощью подстановки После нахождения функции z(x) исходная функция y(x) находится интегрированием по формуле где C₂ − постоянная интегрирования. Если удается найти такую функцию Ф(x, y, y'), не содержащую второй производной y'' и удовлетворяющую равенству то решение исходного уравнения представляется интегралом Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка.

В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель.

   Пример 1

Решить уравнение  y'' = sin x + cos x. Данный пример относится к случаю 1. Введем функцию y' = p(x). Тогда  y'' = p'. Следовательно, Интегрируя, находим функцию p(x): Учитывая, что y' = p(x), проинтегрируем еще одно уравнение 1-го порядка: Последняя формула представлят собой общее решение исходного дифференциального уравнения.

   Пример 2

Решить уравнение . Это уравнение относится к типу 2, где правая часть зависит лишь от переменной y. Введем параметр p = y'. Тогда уравнение можно записать в виде Мы получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными для функции p(y). Интегрируем его: где C₁ − постоянная интегрирования.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим функцию p(y): Теперь вспомним, что y' = p и решим еще одно уравнение 1-го порядка: Разделим переменные и проинтегрируем: Чтобы вычислить левый интеграл, сделаем замену: Тогда левый интеграл будет равен В результате мы получаем следующее алгебраическое уравнение: в котором C₁, C₂ являются постоянными интегрирования.

Последнее выражение представляет собой общее решение дифференциального уравнения в неявном виде.

   Пример 3

Решить уравнение . Данное уравнение не содержит функции y и независимой переменной x (случай 3). Поэтому полагаем y' = p(x). После этого уравнение принимает вид Полученное уравнение первого порядка для функции p(x) является уравнением с разделяющимися переменными и легко интегрируется: Заменяя p на y', получаем Интегрируя еще раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

   Пример 4

Решить уравнение . В это уравнение не входит явно переменная y, т. е. уравнение относится к типу 4 в нашей классификации. Введем новую переменную y' = p(x). Исходное уравнение преобразуется в уравнение первого порядка: которое решается разделением переменных: Интегрируя полученное уравнение еще раз, находим функцию y(x): Для вычисления последнего интеграла сделаем замену: x = t², dx = 2tdt. В результате имеем Возвращаясь обратно к переменной x, окончательно получаем

   Пример 5

Решить уравнение  y'' = (2y + 3)(y' )². Данное уравнение не содержит явно независимой переменной x, т.е. относится к случаю 5. Пусть y' = p(y). Тогда уравнение запишется в виде Разделяем переменные и интегрируем: Интегрируя еще раз, получаем окончательное решение в неявном виде: где C₁, C₂ − постоянные интегрирования.

   Пример 6

Решить уравнение . Уравнение удовлетворяет условию однородности. Поэтому сделаем следующую замену переменной: . Производные будут равны Тогда дифференциальное уравнение принимает вид: Функция z(x) легко находится: Исходную функцию y(x) определим по формуле Вычисления приводят к следующему ответу: Заметим, что кроме полученного общего решения, дифференциальное уравнение содержит также особое решение y = 0.

   Пример 7

Решить уравнение  yy'' + (y' )² = 2x + 1. Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой производную от yy'. Поэтому, обозначая z = yy', получаем следующее дифференциальное уравнение: Последнее уравнение легко решается разделением переменных: Теперь проинтегрируем еще одно уравнение для y(x): где C₁, C₂ − произвольные постоянные.